Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DB’

Một khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân và đường sinh có độ dài bằng \(3cm^2\) Một mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với đáy một góc \(60^o\) chia khối nón thành hai phần. Tính thể tích phần nhỏ hơn (Tính gần đúng đến hàng phần trăm).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + 2,n \ge 1 \end{array} \right..\) Gọi \({S_n} = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ,,, + \frac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}}.\) Tính \(\lim {S_n}\)

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng \(4\pi {a^2}\) và bán kính đáy bằng 2a. Độ dài đường sinh của hình trụ đã cho bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;1;3} \right).\) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):{\rm{ }}x + 2y + 3{\rm{z}} + 2 = 0\) có phương trình là

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x} = {3^{{x^2}}}\) Tính \({x_1}+{x_2}\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,\,\,AD = 2a,\,\,SA = 2a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Gọi a là góc giữa 2 đường thẳng SC và BD. Khi đó, \(cos\alpha\) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}.\)  Đường thẳng d có một VTCP là:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa mãn \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^4}{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} + 1} \right) = 1 + {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3}\) và f(x) > 0 \(\forall x \in [0;1],\) biết \(f\left( 0 \right) = 2.\) Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(\sin 2x + cos2x + \left| {\sin x + cosx} \right| - \sqrt {co{s^2}x + m} - m = 0\) có nghiệm thực?

Biết rằng \(\int\limits_1^e {x\ln {\rm{xdx}}} = a{{\rm{e}}^2} + b,a,b \in Q.\) Tính a + b 

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt x + 3{\rm{x}}\) là

Cho hàm số y = f(x)  liên tục trên có bảng biến thiên như sau:

Biết \(f\left( 0 \right) < 0,\) phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = f\left( 0 \right)\) có bao nhiêu nghiệm?

Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 + 3i} \right| + \left| {z - 2 + i} \right| = 4\sqrt 5 .\) Tính GTLN của \(P = \left| {z - 4 + 4i} \right|\)

Cho a, b, c, d là các số thực dương, khác 1 bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Rút gọn tổng sau \(S = C_{2018}^2 + C_{2018}^5 + C_{2018}^8 + ... + C_{2018}^{2018}\)

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]; và \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right].\) Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right).\) Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay D quanh Ox được tính theo công thức

Một con quạ đang khát nước, nó tìm thấy một cái lọ có nước nhưng cổ lọ lại cao không thò mỏ vào uống được. Nó nghĩ ra một cách, nó gắp từng viên bi (hình cầu) bỏ vào trong lọ để nước dâng lên mà tha hồ uống. Hỏi con quạ cần bỏ vào lọ ít nhất bao nhiêu viên để có thể uống nước? Biết rằng mỗi viên bi có bán kính là \(\frac{3}{4}\) (đvđd) và không thấm nước, cái lọ có hình dáng là một khối tròn xoay với đường sinh là một hàm đa thức bậc ba, mực nước bạn đầu trong lọ ở vị trí mà mặt thoáng tạo thành hình tròn có bán kính lớn nhất \(R = 3,\) mực nước quạ có thể uống là vị trí mà hình tròn có bán kính nhỏ nhất  r = 1 và khoảng cách giữa 2 mặt này bằng 2, được minh họa như hình vẽ sau:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A\left( {2;1;0} \right),{\rm{B}}\left( {1;{\rm{ - }}1;3} \right).\) Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2{\rm{z}} - 1 = 0\) có phương trình là

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và là hàm số chẵn, biết \(\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}} d{\rm{x}} = 1.\) Tính \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} d{\rm{x}}\)