Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,\,\,AD = 2a,\,\,SA = 2a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Gọi a là góc giữa 2 đường thẳng SC và BD. Khi đó, \(cos\alpha\) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;1;3} \right).\) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):{\rm{ }}x + 2y + 3{\rm{z}} + 2 = 0\) có phương trình là

Cho a, b, c, d là các số thực dương, khác 1 bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Cho hàm số \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} \) Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số. Tính \(M + m\)

Theo thống kê dân số thế giới đến tháng 01/2017, dân số Việt Nam có 94,970,597 người và có tỉ lệ tăng dân số là 1,03%. Nếu tỉ lệ tăng dân số không đổi thì đến năm 2020 dân số nước ta có bao nhiêu triệu người, chọn đáp án gần nhất

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x} = {3^{{x^2}}}\) Tính \({x_1}+{x_2}\)

Có bao nhiêu số tự nhiên có dạng \(\overline {abc} \) với a < b < c và a, b, c thuộc tập hợp \(\{ 0;1;2;3;4;5;6\} \)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DB’

Cho \(P\left( x \right) = {\left( {1 + 3{\rm{x}} + {x^2}} \right)^{20}}.\) Khai triển P(x) thành đa thức ta được \(P\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{40}}{x^{40}}.\) Tính \(S = {a_1} + 2{a_2} + ... + 40{a_{40}}\)

Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2 + 3i} \right| + \left| {z - 2 + i} \right| = 4\sqrt 5 .\) Tính GTLN của \(P = \left| {z - 4 + 4i} \right|\)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + 2,n \ge 1 \end{array} \right..\) Gọi \({S_n} = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ,,, + \frac{1}{{{u_n}{u_{n + 1}}}}.\) Tính \(\lim {S_n}\)

Phương trình \({3.2^x} + {4.3^x} + {5.4^x} = {6.5^x}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Cho hàm số y = f(x)  liên tục trên R \ {1;2} và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình \(f\left( {{2^{\sin x}}} \right) = 3\) có bao nhiêu nghiệm trên \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{6}} \right]\)

Rút gọn tổng sau \(S = C_{2018}^2 + C_{2018}^5 + C_{2018}^8 + ... + C_{2018}^{2018}\)

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn \(x + y - z = 2.\) Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + 3} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 5} \) đạt tại \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Tính \({x_0} + {y_0}\)

Một con quạ đang khát nước, nó tìm thấy một cái lọ có nước nhưng cổ lọ lại cao không thò mỏ vào uống được. Nó nghĩ ra một cách, nó gắp từng viên bi (hình cầu) bỏ vào trong lọ để nước dâng lên mà tha hồ uống. Hỏi con quạ cần bỏ vào lọ ít nhất bao nhiêu viên để có thể uống nước? Biết rằng mỗi viên bi có bán kính là \(\frac{3}{4}\) (đvđd) và không thấm nước, cái lọ có hình dáng là một khối tròn xoay với đường sinh là một hàm đa thức bậc ba, mực nước bạn đầu trong lọ ở vị trí mà mặt thoáng tạo thành hình tròn có bán kính lớn nhất \(R = 3,\) mực nước quạ có thể uống là vị trí mà hình tròn có bán kính nhỏ nhất  r = 1 và khoảng cách giữa 2 mặt này bằng 2, được minh họa như hình vẽ sau:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln {\rm{x}}}}{{x - 1}}\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm \(M{\rm{ }}\left( {1;{\rm{ - }}1;1} \right).\) Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất có phương trình là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A\left( {2;1;0} \right),{\rm{B}}\left( {1;{\rm{ - }}1;3} \right).\) Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2{\rm{z}} - 1 = 0\) có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(M\left( {1;1;1} \right),{\rm{N}}\left( {1;0;{\rm{ - }}2} \right),{\rm{P}}\left( {0;1;{\rm{ - }}1} \right).\) Gọi \(G\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là trực tâm tam giác MNP. Tính \({x_0} + {z_0}\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2;6), B(0;1;0) - và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25.\) Mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 2 = 0\) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\)