Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\), \(BC=A{A}'=a\). Gọi M là trung điểm của \(C{C}'\). Tính khoảng cách giứa hai đường thẳng BM và \(A{B}'\), biết rằng chúng vuông góc với nhau.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi I là hình chiếu của A trên BC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} AI \bot BC\\ AI \bot BB' \end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AI \bot BM{\rm{ }}\left( 1 \right).\)
Mặt khác, theo giả thiết: \(A'B\bot BM\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BM\bot \left( AB'I \right)\Rightarrow BM\bot B'I.\)
Gọi \(E=B'I\cap BM,\) ta có: \(\widehat{IBE}=\widehat{BB'I}\) (vì cùng phụ với góc \(\widehat{BIB'}).\)
Khi đó \(\Delta B'BI=\Delta BCM\left( g.c.g \right)\Rightarrow BI=CM=\frac{a}{2}\Rightarrow I\) là trung điểm cạnh \(BC\Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A.
Gọi \(f\) là hình chiếu của E trên AB', ta có EF là đoạn vuông góc chung của AB' và BM.
Suy ra \(d\left( BM,AB' \right)=EF.\)
Ta có: \(AI=BI.\cot {{60}^{0}}=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6};B'I=\sqrt{BB{{'}^{2}}+B{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}=BM.\)
\(IE=BI.\sin \widehat{EBI}=BI.\frac{CM}{BM}=\frac{a}{2}.\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{10}\Rightarrow B'E=B'I-IE=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\)
\(AB'=\sqrt{A{{I}^{2}}+B'I{{'}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\)
Mặt khác: \(\Delta B'IA\) đồng dạng \(\Delta B'FE\) nên \(\frac{B'A}{B'E}=\frac{IA}{EF}\Leftrightarrow EF=\frac{IAB'E}{B'A}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}.\frac{2a\sqrt{5}}{5}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{10}.\)
Vậy \(d\left( BM,AB' \right)=\frac{a\sqrt{5}}{10}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như sau:
.jpg.png)
Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=2{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}-\frac{1}{2}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-12f\left( x \right)+3\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình vẽ sau:
.jpg.png)
Tính tổng b+c.
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ -10;10 \right]\) của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{2x+m}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ -4;-2 \right]\) không lớn hơn 1?
-
Cho khối chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh \(SA=a\sqrt{3}\), hai mặt bên \((SAB)\) và \((SAC)\)cùng vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) (tham khảo hình bên).
.png)
Tính thể tích V của khối hình chóp đã cho
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \(B=8\) và chiều cao \(h=6\) . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng.
-
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\text{ }?\)
-
Cho khai triển \({{\left( x-2 \right)}^{80}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{80}}{{x}^{80}}\) . Hệ số \(a_{78}\) là:
-
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{x}{x+1}\) mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB>AD. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của AB và BC. Xét các mệnh đề sau:
(i). \(SM\bot \left( ABCD \right)\).
(ii). \(BC\bot \left( SAB \right)\).
(iii). \(AN\bot \left( SDM \right)\).
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
.png)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) là:
-
Hàm số \(y=\frac{3\sin x+5}{1-c\text{os}x}\) xác định khi :
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+2\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\).
-
Hộp đựng 3 bi xanh, 2 bi đỏ, 3 bi vàng. Tính xác suất để chọn được 4 bi đủ 3 màu là:
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\)có thể tích là V. Gọi \(M,\,N,\,P\) là trung điểm các cạnh \(A{A}',\,AB,\,{B}'{C}'\). Mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh B theo V.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ -2;4 \right]\) và có bảng biến thiên như sau:
.png)
Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\left| f\left( x \right) \right|\) trên đoạn \(\left[ -2;4 \right]\). Tính \({{M}^{2}}-{{m}^{2}}\).
-
Giới hạn \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}{2x+1}\) là :
-
Nhóm có 7 học sinh, cần chọn 3 học sinh bất kì vào đội văn nghệ số cách chọn là:
-
Tìm m để bất phương trình \(2{{x}^{3}}-6x+2m-1\le 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;1 \right]\).
-
Đường cong sau là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số đã cho dưới đây?
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hỏi phương trình \(\frac{1}{2}f\left( x \right)-2=0\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
