Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Góc giữa đường thẳng \(A{B}'\) và mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) bằng \(30{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \({B}'{C}'\). Mặt phẳng \(\left( {A}'MN \right)\) cắt \(BC\) tại \(P\). Thể tích khối đa diện \(MBP.{A}'{B}'N\) bằng

Mặt phẳng chứa \(\left( \Delta  \right)\) và song song với \(AB\) có phương trình là

Số giá trị nguyên nhỏ hơn \(2020\) của tham số \(m\) để phương trình\({{{\log }_{6}}\left( 2020x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1010x \right)}\) có nghiệm là

Với \(a\) là số thực dương tuỳ ý, \(\log \left( \frac{10}{{{a}^{2}}} \right)\) bằng:

Một hình nón có bán kính đáy bằng \(3\), đường sinh bằng \(5\). Diện tích xung quanh của hình nón là

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\) có phương trình là

Cho \(a,b,c\) là các số dương khác \(1\) thoả mãn \({{\log }_{a}}b=2,\,{{\log }_{b}}c=3\). Tính \({{\log }_{c}}a\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\) và \(\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+b\)

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9\). Từ điểm \(A\left( 4;0;1 \right)\)nằm ngoài mặt cầu kẻ một tiếp tuyến bất kỳ đến \(\left( S \right)\) với tiếp điểm \(M\). Tập hợp tất cả các điểm \(M\) là đường tròn có bán kính bằng

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{3}}\) và \(y=2{{x}^{2}}\) là:

Xếp ngẫu nhiên \(6\) học sinh nam và \(4\) học sinh nữ quanh một bàn tròn. Xác suất để các học sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau là:

Cho hai tích phân \({\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=8}\) và\({\int\limits_{2}^{5}{g\left( x \right)\text{d}x}=3}\). Tính\({I=\int\limits_{2}^{5}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}}\)?

Cho số phức \(z=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i\). Tọa độ điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là

Nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}x>1\) là

Nguyên hàm của hàm số \(f(x)={{3}^{x}}-x\) là

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\,{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ 0\,;\,10 \right]\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty \,;\,1 \right)\)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1\,;\,1\,;\,2 \right)\), \(B\left( 2\,;\,3;\,-3 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\)thuộc trục \(Oy\)và đi qua hai điểm \(A,\,B\)có phương trình là

Xét tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x}{1+\cos x}dx}\). Nếu đặt \(t=\cos x\) thì tích phân \(I\) trở thành

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \(BC=2a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn điều kiện \(x\le 2022\) và \(3\left( {{9}^{y}}+2y \right)+2\le x+{{\log }_{3}}{{\left( x+1 \right)}^{3}}\)?