Cho hàm số \(f\left( x \right)=\,{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ 0\,;\,10 \right]\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty \,;\,1 \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét hàm số \(f\left( x \right)=\,{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1\)
Ta có \({f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4x\); \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\)
Bảng biến thiên
Ta có \({g}'\left( x \right)={f}'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right).{{\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)}^{\prime }}\) =\({f}'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right).\frac{3\left( x-m \right)}{\left| x-m \right|}\).
\({g}'\left( x \right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}}=0\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)
TH1: Nếu \(m=0\) \(\Rightarrow \) phương trình \({g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\)\(\Rightarrow \) không thỏa mãn nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty \,;\,1 \right)\) nên trường hợp này bị loại.
TH2: Nếu \(m>0\) \(\Rightarrow \) phương trình \({g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=m\)
Ta có \(3\left| x-m \right|+{{m}^{2}}>0\,\,\forall x<1\)\(\Rightarrow {f}'\left( 3\left| x-m \right|+{{m}^{2}} \right)>0\,\,\forall \,x\in \left( -\infty \,;\,1 \right)\) nên \({g}'\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow x < m\).
\(\Rightarrow \) hàm số \(y=g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty \,;\,1 \right)\)\(\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)<0\,\forall \,x\in \left( -\infty \,;\,1 \right)\)
\(\Leftrightarrow \,\left( -\infty \,;\,1 \right)\subset \left( -\infty \,;\,m \right)\Leftrightarrow 1\le m\)\(\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4\,;5;6;7;8;9;10 \right\}\). Nên có 10 giá trị thỏa mãn.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lê Quý Đôn
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức \(z=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i\). Tọa độ điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Góc giữa đường thẳng \(A{B}'\) và mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) bằng \(30{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \({B}'{C}'\). Mặt phẳng \(\left( {A}'MN \right)\) cắt \(BC\) tại \(P\). Thể tích khối đa diện \(MBP.{A}'{B}'N\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}\) và \({{d}_{2}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{-2}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-7=0\) và cắt \({{d}_{1}},\,{{d}_{2}}\) lần lượt tại hai điểm \(A,\,B\) sao cho \(AB\) ngắn nhất. phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương \(m\) để phương trình \(3f\left( x \right)+2m=0\) có \(2\) nghiệm thực phân biệt.
-
Cho hai tích phân \({\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=8}\) và\({\int\limits_{2}^{5}{g\left( x \right)\text{d}x}=3}\). Tính\({I=\int\limits_{2}^{5}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x}}\)?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Góc giữa hai đường thẳng \(B{A}'\) và \({B}'{D}'\) bằng
-
Một hình nón có bán kính đáy bằng \(3\), đường sinh bằng \(5\). Diện tích xung quanh của hình nón là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{e}^{x-f\left( x \right)}}\) với mọi \(x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\) và \(f\left( 1 \right)=1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để bất phương trình \({{3}^{x}}\ge \left( f\left( x \right)-m \right)\ln 3\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\)?
-
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;-3;1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+3y-z+2=0\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là
-
Cho hàm số \(y=\,f(x)=\,a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\,\)\((a,\,b,\,c,\,d\,\in \mathbb{R},\,a\ne \,0)\). Biết đồ thị \((C)\) của hàm số \(y=\,f(x)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Đồ thị hàm số \(y=\,{f}'(x)\) như hình vẽ.
Tính diện tích \(S\) của hình phẳng tạo bởi đồ thị \((C)\) và trục hoành.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\) và \(\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+b\)
-
Cho hình nón đỉnh \(S\) có bán kính đáy bằng \(5a\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho \(AB=8a\). Biết mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\), diện tích xung quanh \(S\) của hình nón đã cho bằng
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1\,;\,1\,;\,2 \right)\), \(B\left( 2\,;\,3;\,-3 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\)thuộc trục \(Oy\)và đi qua hai điểm \(A,\,B\)có phương trình là
-
Cho \(a,b,c\) là các số dương khác \(1\) thoả mãn \({{\log }_{a}}b=2,\,{{\log }_{b}}c=3\). Tính \({{\log }_{c}}a\).
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+3}{2}\). Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\)?
-
Nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}x>1\) là
-
Nguyên hàm của hàm số \(f(x)={{3}^{x}}-x\) là
-
Mặt phẳng chứa \(\left( \Delta \right)\) và song song với \(AB\) có phương trình là
-
Xét các số phức \(w,{{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+1+2i \right|+\left| {{z}_{1}}-5-6i \right|=10\) và \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\), \(5w=\left( 2+i \right)\left( {{z}_{2}}-4 \right)\). Gọi \(a\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\). Khẳng định nào sau đây đúng?
