Cho hình lăng trụ $ABC{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, thể tích của khối lăng trụ $ABC{A}'{B}'{C}'$ bằng $\sqrt{3}{{a}^{3}}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}'$ và BC bằng

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;0;-2 \right),\text{ }B\left( 2;1;-1 \right).$ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB.

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 2x + 5}$ trên [0;3]. Giá trị của biểu thức M + m bằng

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua A’B’ và trọng tâm G của tam giác ABC cắt AC, BC lần lượt tại điểm E, F. Tính thể tích V của khối đa diện A'B'ABFE.

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Với  a,b là hai số thực dương và khác 1 thỏa mãn ${{\log }_{\sqrt{a}}}\left( a\sqrt[{}]{b} \right)=1$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Thể tích khối cầu có bán kính R = 2a bằng 

Thể tích của khối lập phương cạnh 3cm bằng

Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A,B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ như hình vẽ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc ${{45}^{0}}$. Tính diện tích xung quanh S_xq của hình trụ.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 1;3;-4 \right)$ và $B\left( -1;2;2 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực $\left( \alpha  \right)$ của đoạn thẳng AB. 

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3 và u₂ = 6. Công bội q của cấp số nhân đã cho bằng 

Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có diện tích đáy bằng $\frac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}$ và chiều cao h=a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây.

Hàm số đó là hàm số nào?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${2^{{x^2} + 3x}} \le 16$ là số nào sau đây ?

Số phức liên hợp của  số phức z=5-4i là

Trong không gian Oxyz, tính bán kính của mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2z - 7 = 0.$

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$ có đồ thị như hình bên với $a,b,c\in \mathbb{Z}.$ Tính giá trị của biểu thức T=a-3b+2c.

Với a là số thực dương tùy ý, $lo{{g}_{3}}{{a}^{2}}$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a\sqrt{6}$. Tính góc $\varphi$ giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $\left( ABCD \right).$

Hỏi có tất cả bao giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $y=2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-mx+2m-1$ nghịch biến trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$?