Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(2a.\) Tính theo \(a\) thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chóp đã cho.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B.
Ta có:\({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.2a.{{a}^{2}}=\frac{2{{a}^{3}}}{3}=>{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}}{3}\)
\(\begin{align} & \bullet \frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\\&=>{{V}_{S.MNP}}=\frac{1}{8}{{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}}{24} \\ & \bullet \frac{{{V}_{B.EFN}}}{{{V}_{B.ACS}}}=\frac{BE}{BA}.\frac{BF}{BC}.\frac{BN}{BS}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\\&=>{{V}_{B.EFN}}=\frac{1}{8}{{V}_{B.ACS}}=\frac{{{a}^{3}}}{24} \\ \end{align}\)
Thể tích khối đa diện cần tìm là:
\(V={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.MNPQ}}-4.{{V}_{B.EFN}}=\frac{2{{a}^{3}}}{3}-\frac{{{a}^{3}}}{12}-4.\frac{{{a}^{3}}}{24}=\frac{5{{a}^{3}}}{12}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 1