Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $2a.$ Tính theo $a$ thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chóp đã cho.

Một người gửi $100$ triệu  đồng vào ngân hàng với lãi suất $0,4%/$ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau $6$ tháng, người đó được lĩnh số tiền ( cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?

Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Cho $\alpha$,$\beta$là các số thực. Đồ thị các hàm số $y={{x}^{\alpha }}$,$y={{x}^{\beta }}$trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$ được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Giả sử phương trình ${{25}^{x}}+{{15}^{x}}={{6.9}^{x}}$ có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng $\frac{a}{{{\log }_{b}}c-{{\log }_{b}}d}$, với $a$ là số nguyên dương và $b,c,d$ là các số nguyên tố. Tính $S={{a}^{2}}+b+c+d$. 

Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{a}}>{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{b}}$. Kết luận nào sau đây đúng? 

Cho khối lăng trụ tam giác$ABC.{A}'{B}'{C}'$, biết rằng thể tích khối chóp ${A}'.A{B}'{C}'$ bằng $9\,\left( dvtt \right)$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Biết phương trình $\log _{9}^{2}x+{{\log }_{3}}\frac{x}{27}=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$. Hiệu ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}$ bằng 

Cho đa giác đều $P$ gồm 16 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $P$. Tính xác suất để tam giác chọn được là tam giác vuông. 

Tìm số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( -20;20 \right)$ để hàm số

$f\left( x \right)=\frac{1}{7}{{x}^{7}}+\frac{6}{5}{{x}^{5}}-\frac{{{m}^{3}}}{4}{{x}^{4}}+\left( 5-{{m}^{2}} \right){{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+10x+2020$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$. 

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$? 

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{-4}}$. 

Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng $1$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng $1$. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng

Hàm số$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+1$đạt cực tiểu tại điểm 

Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ -2022;\,2022 \right]$ của tham số $m$ để đồ thị hàm số$y=\frac{\sqrt{x-3}}{{{x}^{2}}+x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận. 

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước bằng $a,\,a\sqrt{2},\,a\sqrt{3}$ là 

Đạo hàm của hàm số $y={{4}^{{{x}^{2}}+x+1}}$là 

Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực $\left( x,y,z \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây

${{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}{{.4}^{\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}}{{.16}^{\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}=128$ và ${{\left( x{{y}^{2}}+{{z}^{4}} \right)}^{2}}=4+{{\left( x{{y}^{2}}-{{z}^{4}} \right)}^{2}}$.

Biết rằng đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+b$ có một điểm cực trị là $\left( 1\,;\,2 \right)$. Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho. 

Phương trình ${{\log }_{2}}\left( x+1 \right)=4$ có nghiệm là 

Trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$, hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm