Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = 3,AD = 4\) và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc \(60^o\). Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Giả sử \(\int {\frac{{2x + 3}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}}dx} = - \frac{1}{{g\left( x \right)}} + C\) (C là hằng số). Tính tổng của các nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0.\)

Giả sử \(\left( {1 + x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)...\left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_m}{x^m}.\)Tính \(\sum\limits_{r = 0}^m {{a_r}.} \)

Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) > 3\) là

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y = {x^2} - 4x + 6\) và \(y = - {x^2} - 2x + 6\).

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

(I): Nếu f"(x) > 0 trên khoảng \(\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\) và f"(x) < 0 trên khoảng \(\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\left( {h > 0} \right)\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \(x_o\) 

(II): Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm \(x_o\) thì tồn tại các khoảng \(\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right),\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\left( {h > 0} \right)\) sao cho f"(x) > 0 trên khoảng \(\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\) và f"(x) < 0 trên khoảng \(\left( {{x_0};{x_0} + h} \right).\) 

Giá trị \(I = \int\limits_{\frac{1}{{\sqrt[3]{6}}}}^{\frac{9}{{\sqrt[3]{4}}}} {{x^2}\sin \left( {\pi {x^3}} \right){e^{c{\rm{os}}\left( {\pi {x^3}} \right)}}} dx\) gần bằng số nào nhất trong các số sau đây?

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x - 1}},\) biết F(1) = 2. Tính F(2).

Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} \) có kết quả \(I = \ln a + b\) với \(a > 0,b \in R\). Khẳng định nào sau  đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 3; - 2} \right)\)và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;1} \right)\) có phương trình là

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 7x + 2}}{{2{x^2} - 5x + 2}}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng?

Một khối cầu có thể tích bằng \(\frac{{32\pi }}{3}.\) Bán kính R của khối cầu đó là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I\left( {1;2; - 5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 8 = 0.\) Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \(60^o\) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 6z - 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 1;0;1} \right)\). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?

Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right).\) 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2;4;1} \right),B\left( { - 1;1;3} \right)\)  và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2z - 5 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Tìm m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + m\) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = OB,  trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực đại, B và C là hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.