Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều và cạnh bên SA vuông góc với đáy, với \(SA=\frac{a}{2}\). Góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \(30{}^\circ \). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Ta có:
♦ \(AM\bot BC\) (do tam giác ABC đều). \(\left( 1 \right)\)
♦ \(SA\bot \left( ABC \right)\) (theo giả thiết). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(SM\bot BC\) (theo định lí ba đường vuông góc).
Nên góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng góc \(\widehat{SMA} \Rightarrow \widehat{SMA}=30{}^\circ \).
Xét tam giác vuông SMA có \(\widehat{SMA}=30{}^\circ \) và \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) do đó ta có \(\tan \widehat{SMA}=\frac{SA}{AM} \Rightarrow AM=\frac{SA}{\tan \widehat{SMA}} \Rightarrow AM=\frac{\frac{a}{2}}{\tan 30{}^\circ }\) nên \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Trong tam giác vuông ABM tại M ta có \(B{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}\), mà AB=2BM nên có \(B{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=4B{{M}^{2}} \Rightarrow 3B{{M}^{2}}=A{{M}^{2}} \Rightarrow BM=\frac{1}{\sqrt{3}}AM\) hay \(\Rightarrow BM=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2}\), do đó \(\Rightarrow BC=a\)
Diện tích tam giác ABC là \({{S}_{ABC}}= \frac{1}{2}BC.AM =\frac{1}{2}a.\frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).
Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}} =\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} =\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thanh Oai A
Câu hỏi liên quan
-
Với a là số thực dương tùy ý, \(\ln \left( {ea} \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m\) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\),với m là tham số thực.Giả sử \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ
.PNG)
Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}\) là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để \({{S}_{1}}+{{S}_{3}}={{S}_{2}}\) là
-
Nghiệm của phương trình \({4^{2x - 1}} = 32\) là
-
Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn \({\log _3}\left( {x + 2y} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
-
Cho \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị của \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây.
.PNG)
Đặt \(M=\underset{\left[ \text{-2;6} \right]}{\mathop{\text{max}}}\,\text{ }f\left( x \right), m=\underset{\left[ \text{-2;6} \right]}{\mathop{\text{min}}}\,\text{ }f\left( x \right)\). Giá trị của biểu thức M+m bằng
-
Số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa m<10 để bất phương trình \({{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}.({{3}^{m+2}}+1)+{{3}^{m}}<0\) có ít nhất 3 nghiệm nguyên là
-
Từ một nhóm có 10 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh và xếp thành một hàng ngang?
-
Công thức tính thể tích \(V\) của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+3{{x}^{2}} \right]\text{d}x}=6\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Cho số phức \(z=a+bi\text{ }\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right|=5\) và \(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)\) là một số thực. Tính giá trị của \(P=\left| a \right|+\left| b \right|\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là
-
Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}\) là
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=-2}\) và \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx=6}\) thì \(\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)dx}\) bằng
-
Số phức liên hợp của số phức z = 2021i là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh đáy bằng a và SA vuông góc với đáy với \(SA=a\sqrt{3}.\) Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm \(M\left( 2;-3 \right)\) biểu diễn số phức nào dưới đây?
-
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3cm, độ dài đường cao bằng 4cm. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
.png)
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{-2x+4}{-x+1}\) là đường thẳng:
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( 1-3x \right)=2\) là
