Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=4a,BC=3\sqrt{2}a,\) \(\widehat{ABC}=45{}^\circ ;\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90{}^\circ \); Sin góc giữa 2 mặt phẳng\(\left( SAB \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \(\frac{\sqrt{2}}{4}.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Do \(SA\bot AC,\,SB\bot BC\) nên \(S,A,B,C\) nằm trên mặt cầu đường kính \(SC\),
Ta có \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\sin {{45}^{0}}=10{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{10}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( ABC \right)\).
Ta có \(CA\bot SA\) và \(CA\bot SH\) nên \(CA\bot HA\).
Tương tự: \(CB\bot HB\).
Khi đó \(ABCH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(HC\) nên \(HC=\frac{AC}{\sin {{45}^{0}}}=2\sqrt{5}a\).
Ta có: \(HB=\sqrt{H{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
Gọi \(K,I\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) và của \(H\) lên \(AB\). Khi đó \(\Delta CKB\) và \(\Delta HIB\)vuông cân nên \(CK=\frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}=3a\) và \(HI=\frac{HB}{\sqrt{2}}=a\).
Do đó \(\frac{d\left( H,\left( SAB \right) \right)}{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}=\frac{HI}{CK}=\frac{1}{3}\)
Ta có \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \frac{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow d\left( C,\left( SAB \right) \right)=CB.\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3a}{2}\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{a}{2}\).
Khi đó \(\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{d}^{2}}\left( H,\left( SAB \right) \right)}-\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}-\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow S{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}\).
Vậy \(SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+20{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{183}}{3}\), suy ra bán kính mặt cầu \(R=\frac{a\sqrt{183}}{6}\).
Chọn A
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Sương Nguyệt Anh
Câu hỏi liên quan
-
Cho HS \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3\sqrt{2}a\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)?
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(0\le x\le 4000\) và \(5\left( {{25}^{y}}+2y \right)=x+{{\log }_{5}}{{\left( x+1 \right)}^{5}}-4\)?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(\left( AC{D}' \right)\) & \(\left( ABCD \right)\). Giá trị của \(\tan \alpha \) bằng?
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AC=2a\). Hình chiếu vuông góc của \({A}'\) trên mp \(\left( ABC \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(AB\) và \(A{A}'=a\sqrt{2}\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho?
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\). Xét các mệnh đề sau đây:
1) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right).\)
2) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
3) Hàm số đã cho không có điểm cực trị.
4) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Số các mệnh đề đúng là?
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x+2}{x-1}\). Gọi \(A,\ B,\ C\) là 3 điểm phân biệt thuộc \(\left( C \right)\) sao cho trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) thuộc đường thẳng \(\Delta :y=-3x+10\). Độ dài đoạn thẳng \(OH\) bằng?
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có \(CD=2AB=2AD=6.\) Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng BC?
-
Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện nào?
-
Với các số \(a,\ b>0\) thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=7ab\), giá trị biểu thức \({{\log }_{3}}\left( a+b \right)\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) là hàm số bậc 3 có đồ thị là đường cong trong hình:
Hàm số \(y=f\left( x \right)\)nghịch biến trên?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số sau \(y=\ln \left( {{x}^{2}}-2mx+4 \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
-
Tích tất cả các nghiệm của phương trình \(\log _{3}^{2}x-2{{\log }_{3}}x-7=0\) là?
-
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của ĐTHS \(y=\frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+2x}\) là?
-
Tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B=6\) và chiều cao \(h=4\) là?
-
Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng?
-
Cho phương trình sau \(\left( 4\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-5 \right)\sqrt{{{7}^{x}}-m}=0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt?
-
Cho biết thể tích \(V\) của khối trụ có chiều cao \(h=4\) cm và bán kính đáy \(r=3\) cm bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -4;\,4 \right]\) và có BBT như hình:
Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ -4;\,4 \right]\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{3}}-3x+2 \right)+2f\left( m \right) \right|\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) bằng \(5\)?
-
Cho hình trụ có 2 đáy là hai hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( O' \right)\), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi \(A\) và \(B\) là 2 điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn \(\left( O' \right)\) và \(\left( O \right)\). Biết \(AB=2a\) và khoảng cách giữa \(AB\) và \(OO'\) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính diện tích xung quanh của hình trụ?
