Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {3^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {3^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2020x - 2020 \le 0\\ {x^2} - \left( {m + 2} \right)x - {m^2} + 3 \ge 0 \end{array} \right.$ (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Tính tổng các phần tử của S.

Điều kiện xác định: $x\ge -1$.

Ta có: ${{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+2020x\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020$

$\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2+\sqrt{x+1} \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t$ trên $\mathbb{R}$.

Dễ dàng nhận thấy ${f}'\left( t \right)>0,\,\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó $f\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le f\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow -1\le x\le 1$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0$ là $\left[ -1\,;\,1 \right]$.

Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình ${{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3\ge 0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1\,;\,1 \right]$. Gọi $g\left( x,m \right)={{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3$.

TH1: $\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12\le 0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}+4m-8\le 0\Leftrightarrow \frac{-2-2\sqrt{11}}{5}\le m\le \frac{-2+2\sqrt{11}}{5}$, khi đó $g\left( x,m \right)\ge 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa điều kiện đề bài).

TH2: $\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12>0\left[ \begin{align} & m>\frac{-2+2\sqrt{11}}{5} \\ & m<\frac{-2-2\sqrt{11}}{5} \\ \end{align} \right.$, khi đó $g\left( x,\,m \right)=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$.

Để $g\left( x,\,m \right)\ge 0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1\,;\,1 \right]$ khi $\left[ \begin{align} & {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1 \\ & -1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \\ \end{align} \right.$.

KN1: Xét ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1$, tức là $\left\{ \begin{align} & g\left( 1,m \right)\ge 0 \\ & \frac{m+2}{2}<1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{align} & -{{m}^{2}}-m+2\ge 0 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le m<0$.

KN2: Xét $-1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, tức là $\left\{ \begin{align} & g\left( -1,m \right)\ge 0 \\ & \frac{m+2}{2}>-1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -{{m}^{2}}+m+6\ge 0 \\ & m>-4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 3$.

Từ các trường hợp (1) và (2) vậy ta có $m\in \left[ -2\,;\,3 \right]$ thì hệ bất phương trình trên có nghiệm.

Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên tập hợp $S=\left\{ -2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3 \right\}$.

Vậy tổng các phần tử trong tập hợp S bằng 3.