Cho hàm số \(y = \left| {{{\sin }^3}x - m.sinx + 1} \right|.\) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) Tính số phần tử của S

Trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),\) hàm số \(y = \sin x\) đồng biến

Đặt \(t = \sin x,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\) 

Khi đó hàm số \(y = \left| {\sin {}^3x - m.sinx + 1} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),\) khi và chỉ khi \(y = f\left( t \right) = \left| {{t^3} - mt + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1)

Xét hàm số \( y= f\left( t \right) = \left| {{t^3} - mt + 1} \right|\) trên khoảng (0;1) có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} - m\) 

+) Khi \(m = 0:f'\left( x \right) = 3{x^2} > 0,\forall x \Rightarrow y = f\left( x \right) = {x^3} + 1\) đồng biến trên (0;1)

Và đths \(y = f\left( x \right) = {x^3} + 1\) cắt Ox tại điểm duy nhất x = - 1 

\( \Rightarrow y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn

+) \(m > 0:f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} =  - \sqrt {\frac{m}{3}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{m}{3}} \) 

Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - mx + 1\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{m}{3}} } \right)\) và \(\left( {\sqrt {\frac{m}{3}} ; + \infty } \right)\) 

Nhận xét: \(\left( {0;1} \right) \not\subset \left( {\sqrt {\frac{m}{3}} ; + \infty } \right),\left( {0;1} \right) \not\subset \left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{m}{3}} } \right),\forall m > 0\) 

TH1: \( - \sqrt {\frac{m}{3}}  < 0 < \sqrt {\frac{m}{3}}  < 1 \Leftrightarrow 0 < m < 3\) 

Để \(y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) thì \({x^3} - mx + 1 = 0\) có nghiệm (bội lẻ) là \(x = \sqrt {\frac{m}{3}} \) 

\( \Rightarrow \frac{{m\sqrt m }}{{3\sqrt 3 }} - \frac{{m\sqrt m }}{{\sqrt 3 }} + 1 = 0 \Leftrightarrow  - 2m\sqrt m  + 3\sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow m\sqrt m  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}}\left( {TM} \right)\)  

TH2: \( - \sqrt {\frac{m}{3}}  < 0 < 1 \le \sqrt {\frac{m}{3}}  \Leftrightarrow m \ge 3\)

Để \(y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) thì \({x^3} - mx + 1 \le 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) 

\( \Leftrightarrow mx \le {x^3} + 1,\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \le {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right)\) 

Xét hàm số \(y = {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow y' = 2x - \frac{1}{{{x^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \in \left( {0;1} \right)\) 

Hàm số liên tục trên (0;1) và \(y\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right) = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}};y\left( 1 \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} y = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}}\) 

Để \(m \le {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right)\) thì \(m \le \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}} \Rightarrow \) Không có giá trị của m thỏa mãn.

Vậy chỉ có giá trị m = 0 thỏa mãn