Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (M, N khác A) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai* Nhận xét đây là hàm số trùng phương có hệ số a > 0.
* Ta có y' = x3 - 7x nên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = - \sqrt 7 }\\
{{x_0} = \sqrt 7 }
\end{array}} \right.\).
* Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ( là đường thẳng qua hai điểm M, N) có hệ số góc:
\(k = \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 6\). Do đó để tiếp tuyến tại \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có hệ số góc k = 6 > 0 và cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \( - \sqrt 7 < {x_0} < 0\) và \({x_0} \ne - \frac{{\sqrt {21} }}{3}\) (hoành độ điểm uốn).
* Ta có phương trình: \(y'\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow x_0^3 - 7{x_0} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = - 2}\\
{{x_0} = - 1}\\
{{x_0} = 3{\rm{ (}}l{\rm{)}}}
\end{array}} \right.\).
Vậy có 2 điểm A thỏa yêu cầu.
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) và điểm A(2; 3;-1). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình
-
Cho khối chóp có đáy hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích cả khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông A'B'C'D' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2MI(tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC'D') và (MAB) bằng
.png)
-
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a,\;b,\;c,\;d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
.png)
-
Tìm hai số thực x và y thỏa mãn \(\left( {2x - 3yi} \right) + \left( {1 - 3i} \right) = x + 6i\) với i là đơn vị ảo.
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; -4; 3) và B(2; 2; 7). Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 2} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại x = 0
-
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB' bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB' và CC' lần lượt bằng 1 và \(\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A'B'C) là trung điểm M của B'C' và \(A'M = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 3t\\
y = 1 + 4t\\
z = 1
\end{array} \right.\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm A(1; 1;1) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 2;2} \right)\). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và \(\Delta \) có phương trình là -
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {a,\,b,\,c,\,d \in R} \right)\). Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right) + 4 = 0\) là
.png)
-
\(\lim \frac{1}{{5n + 3}}\) bằng
-
Số phức -3 + 7i có phần ảo bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 5m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 10} \right)\)?
-
Ông A dự định sử dụng hết 6,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
-
Từ một hộp chứa 11 quả cầu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng:
-
Hệ số của x5 trong khai triển nhị thức \(x{\left( {2x - 1} \right)^6} + {\left( {3x - 1} \right)^8}\) bằng
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},y = 0,x = 0,x = 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
