Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = {x^3} - 2x, \forall x \in R\) và \(f(0) = f'(0) = 2\). Tính giá trị của \(T = {f^2}(2).\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(VT = \left[ {f(x).f'(x)} \right]' = f'(x).f'(x) + f(x).f''(x) = {\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x)\)
\( \Rightarrow \left[ {f'(x).f(x)} \right]' = {x^3} - 2x(*)\)
Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: \(f'(x).f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + C(1)\)
Lại có: \(f'(0) = f(0) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow (1) \Leftrightarrow f(x).f'(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4\\
\Rightarrow \int {f(x)f'(x)dx = \int {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4} \right)} } dx \Leftrightarrow \int {f(x)df(x) = \frac{{{x^5}}}{{20}} - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A} \\
\Leftrightarrow \frac{{{f^2}(x)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{{20}} - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A \Leftrightarrow {f^2}(x) = \frac{{{x^5}}}{{10}} - \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 2A
\end{array}\)
Có \(f(0) = 2 \Rightarrow 4 = 2A \Leftrightarrow A = 2\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {f^2}(x) = \frac{{{x^5}}}{{10}} - \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 4\\
\Rightarrow {f^2}(2) = \frac{{{2^5}}}{{10}} - \frac{{{{2.2}^3}}}{3} + 8.2 + 4 = \frac{{268}}{{15}}
\end{array}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 2 = m\) có hai nghiệm phân biệt.
-
Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không dổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
-
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
-
Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\frac{a}{{\sqrt 2 }},\Delta SAC\) vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc \(60^0\). Tính thể tích V của khối chóp SABCD.
-
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng \( + \infty \)?
-
Một giải thi đấu bóng đá quốc gia có 12 đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt tính điểm (2 đội bất kì thi đấu với nhau đúng 2 trận). Sau mỗi trận đấu, đội thắng 3 điểm, đội thua 0 điểm, nếu hòa mỗi đội được 1 điểm. Sau giải đấu ban tổ chức thống kê được 60 trận hòa. Hỏi tổng số điểm của tất cả các đội sau giải đấu là
-
Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
.png)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( {2{x^2} + 3} \right) < \log \left( {{x^2} + mx + 1} \right)\) có tập nghiệm là R.
-
Cho tứ diện ABCD có \((ACD) \bot (BCD),AC = AD = BC = BD = a,CD = 2x\). Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là:
-
Đặt \(a = {\log _2}5\) và \(b = {\log _3}5\). Biểu diễn đúng của theo a, b là:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có \(f'(x) > 0,\forall x \in R\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) < f\left( 1 \right)\)
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \((P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 = 0;(R):x - 2y + z - 4 = 0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = A{B^2} + \frac{{144}}{{A{C^2}}}\)
-
Hình hộp chữ nhật đứng đáy là hình thoi có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết \(AB = 2AD = 2DC = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \(60^0\). Độ dài cạnh SA là:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(\overrightarrow a = (1; - 2;3)\) và \(\overrightarrow b = (2; - 1; - 1)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(-2;4) và B(8;4). Tìm tọa độ điểm C trên trục Ox, có hoành độ dương sao cho tam giác ABC vuông tại C.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(y' = {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6\). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên (3;5)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
