Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = {x^3} - 2x, \forall x \in R\) và \(f(0) = f'(0) = 2\). Tính giá trị của \(T = {f^2}(2).\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(VT = \left[ {f(x).f'(x)} \right]' = f'(x).f'(x) + f(x).f''(x) = {\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x)\)
\( \Rightarrow \left[ {f'(x).f(x)} \right]' = {x^3} - 2x(*)\)
Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: \(f'(x).f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + C(1)\)
Lại có: \(f'(0) = f(0) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow (1) \Leftrightarrow f(x).f'(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4\\
\Rightarrow \int {f(x)f'(x)dx = \int {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4} \right)} } dx \Leftrightarrow \int {f(x)df(x) = \frac{{{x^5}}}{{20}} - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A} \\
\Leftrightarrow \frac{{{f^2}(x)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{{20}} - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A \Leftrightarrow {f^2}(x) = \frac{{{x^5}}}{{10}} - \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 2A
\end{array}\)
Có \(f(0) = 2 \Rightarrow 4 = 2A \Leftrightarrow A = 2\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {f^2}(x) = \frac{{{x^5}}}{{10}} - \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 4\\
\Rightarrow {f^2}(2) = \frac{{{2^5}}}{{10}} - \frac{{{{2.2}^3}}}{3} + 8.2 + 4 = \frac{{268}}{{15}}
\end{array}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để phương trình \({\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2} + \frac{{18\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }} = m\left( {{x^2} + 1} \right)\) có nghiệm thực?
-
Trên đồ thị (C): \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: \(x+y=1\)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên R, có đạo hàm \(f'(x)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(f'(x)\) như hình vẽ. Xác định điểm cực đại của hàm số \(g(x)=f(x)+x\).
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết \(AB = 2AD = 2DC = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \(60^0\). Độ dài cạnh SA là:
-
Cho hàm số \(y = \frac{{3x + b}}{{ax - 2}}(ab \ne - 2)\). Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;- 4) song song với đường thẳng \(d:7x + y - 4 = 0\). Khi đó giá trị của bằng:
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}\)
-
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng \( + \infty \)?
-
Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1=2\) và biểu thức \(20{u_1} - 10{u_2} + {u_3}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân \((u_n)\)?
-
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của SA, N là hình chiếu vuông góc của A lên SO. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hai góc lượng giác a và b. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \((P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 = 0;(R):x - 2y + z - 4 = 0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = A{B^2} + \frac{{144}}{{A{C^2}}}\)
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {5 - 3{x^2}} \right)\) là:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(y' = {x^2}(x - 2)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( {2{x^2} + 3} \right) < \log \left( {{x^2} + mx + 1} \right)\) có tập nghiệm là R.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\) bằng:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;0;0} \right);B\left( {0;0;3} \right);C\left( {0; - 3;0} \right)\) và mặt phẳng (P): \(x + y + z - 3 = 0\). Tìm trên (P) điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.
-
Một giải thi đấu bóng đá quốc gia có 12 đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt tính điểm (2 đội bất kì thi đấu với nhau đúng 2 trận). Sau mỗi trận đấu, đội thắng 3 điểm, đội thua 0 điểm, nếu hòa mỗi đội được 1 điểm. Sau giải đấu ban tổ chức thống kê được 60 trận hòa. Hỏi tổng số điểm của tất cả các đội sau giải đấu là
-
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy hình trụ, \(AB = 4a;AC = 5a\). Tính thể tích khối trụ:
-
Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(\overrightarrow a = (1; - 2;3)\) và \(\overrightarrow b = (2; - 1; - 1)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
