Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=(2-x){{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-m \right)}^{2021}},\forall x\in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \((-2021 ; 2022)\) của tham số \(\mathrm{m}\) để hàm số \(g(x)=f\left(x^{2}-2\right)+\frac{1}{2} x^{4}-4 x^{2}+2022\) có đúng 5 điểm cực trị?

A. 2030.

B. 2031.

C. 2032.

D. 2033

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

\(g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right)+\frac{1}{2}{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2022\)\( \Rightarrow {g}'(x)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2{{x}^{3}}-8x.\)

\({g}'(x)=0.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}-4=0 \\ \end{align} \right.\)

\({f}'(x)=(2-x){{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-m \right)}^{2021}}\)\( \Rightarrow {f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)=\left( 4-{{x}^{2}} \right){{\left( {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m \right)}^{2021}}\)\({f}'\left( {{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}-4=0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-4 \right)\left[ 1-{{\left( {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m \right)}^{2021}} \right]=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-4=0 \\ & 1-{{\left( {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m \right)}^{2021}}=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-2 \\ & {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m=1 \\ \end{align} \right.\)

Xét phương trình \({{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{3}}-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-m=1\ \left( 1 \right)\).

Đặt \(t={{x}^{2}}-2\Rightarrow t\in \left[ -2;+\infty \right)\).

Ta được phương trình \({{t}^{3}}-{{t}^{2}}=m+1\).

Xét hàm \(g\left( t \right)={{t}^{3}}-{{t}^{2}}\).

Để hàm số có đúng 5 cực trị điều kiện là có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 0 và - 2, 2. Với mỗi \(t\in \left( -2;+\infty \right)\) thì phương trình \(t={{x}^{2}}-2\) có hai nghiệm \(x\) phân biệt khác 0.

Do đó, yêu cầu bài toán

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -12< m+1 \le \frac{-4}{27} \\ & 0\le m+1<2022 \\ & m\in Z \\ & m+1\ne 4 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -13 < m\le \frac{-31}{27} \\ & -1\le m+1<2021 \\ & m\in Z \\ & m\ne 3 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow m\in \left\{ -12;...;-2;-1;...;2;4;...;2020 \right\}\).

Vậy có 2032 giá trị của \(\mathrm{m}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài