Cho hàm số \(y = f\left( x \right),\,y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\,\left( {a < b} \right)\). Hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right),\,y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,\,x = b\) có diện tích là

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {x + 2} \right)\ln \left( {x + 1} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 2 - \frac{7}{b}\) trong đó \(a, b\) là các số nguyên dương. Tổng \(a+b^2\) bằng

Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = {90^0}\); \(AB = a;\,AC = a\sqrt 5 ;\,\widehat {ABC} = {135^ \circ }\). Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD), (BCD) bằng \(30^0\). Thể tích của tứ diện ABCD là

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) là \( - 2;0;2;a;6\) với \(4<a<6\). Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^6} - 3{x^2}} \right)\) là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại A, biết \(SA\bot (ABC)\) và \(AB=2a, AC=3a, SA=4a\). Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;\,2;\,1} \right),B\left( {3;\,4;\,0} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 46 = 0\). Biết rằng khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P) lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị của biểu thức \(T=a+b+c\) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):mx + \left( {m + 1} \right)y - z - 2m - 1 = 0\), với m là tham số. Gọi (T) là tập hợp các điểm \(H_m\) là hình chiếu vuông góc của điểm H(3;3;0) trên (P). Gọi \(a, b\) lần lượt là khoảng cách lớn nhất, khoảng cách nhỏ nhất từ O đến một điểm thuộc (T). Khi đó, \(a+b\) bằng

Gọi A là tập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ra từ A hai số. Tính xác suất để lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau.

Số phức \(z = 5 - 8i\) có phần ảo là

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau:

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(f(x)=m\) có ba nghiệm phân biệt là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {4;\,0;\,0} \right),\,B\left( {0;\,4;\,0} \right),\,S\left( {0;\,0;\,c} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\). Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên SA, SB. Khi góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (OA'B') lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng? 

Gọi \(z_1, z_2\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Giá trị của biểu thức \({z_1}^2 + {z_2}^2\) bằng

Cho \(a, b, c, d\) là các số nguyên dương, \(a \ne 1,c \ne 1\) thỏa mãn \({\log _a}b = \frac{3}{2},{\log _c}d = \frac{5}{4}\) và \(a-c=9\). Khi đó, \(b-d\) bằng

Trong các hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}x;\,g\left( x \right) =  - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^3} + 1}};\,h\left( x \right) = {x^{\frac{1}{3}}};\,k\left( x \right) = {3^{{x^2}}}\) có bao nhiêu hàm số đồng biến trên R?

Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\) có tập nghiệm là \((a;b)\). Tổng \(a+b\) bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\), \(AA' = \frac{{3a}}{2}\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là trung điểm BC. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( { - 4;5; - 3} \right)\), \(\overrightarrow b  = \left( {2; - 2;1} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow x  = \overrightarrow a  + 2\overrightarrow b \).

Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{\frac{3}{5}}} + {\left( {x - 3} \right)^{ - 2}}\) là

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;9] sao cho bất phương trình \({2^{{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) - m}} - {16.2^{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) - m}} - {4^{f\left( x \right)}} + 16 < 0\) có nghiệm \(x \in \left( { - 1;\,1} \right)\)?

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R, có đạo hàm \(f'(x)\, = \,{x^3}{\left( {x\, - \,1} \right)^2}\left( {x\, + \,2} \right)\). Hỏi hàm số \(y=f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?