Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực, \(a\ne 0\) có đồ thị như hình bên.
.PNG)
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng \((-2019;2019)\) để hàm số \(g(x)=f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({g}'(x)=(3{{x}^{2}}-6x){f}'({{x}^{3}}-3x+m)\).
Với mọi \(x\in (2;+\infty )\) ta có \(3{{x}^{2}}-6x>0\) nên hàm số \(g(x)=f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right) \Leftrightarrow {f}'({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m)\le 0,\forall x\in (2;+\infty )\).
Dựa vào đồ thị ta có hàm số y=f(x) nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;1)\) và \((3;+\infty )\) nên \({f}'(x)\le 0\) với \(x\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 3;+\infty \right)\).
Do đó \(f'({x^3} - 3{x^2} + m) \le 0,\forall x \in (2; + \infty )\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} + m \le 1,\forall x \in (2; + \infty )\\ {x^3} - 3{x^2} + m \ge 3,\forall x \in (2; + \infty ) \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le - {x^3} + 3{x^2} + 1,\forall x \in (2; + \infty )\\ m \ge - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in (2; + \infty ) \end{array} \right.\)
Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - {x^3} + 3{x^2} + 1) = - \infty \) nên trường hợp \(m \le - {x^3} + 3{x^2} + 1,\forall x \in (2; + \infty )\) không xảy
ra.
Trường hợp: \(m \ge - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in (2; + \infty )\). Ta có hàm số \(h(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 3\) liên tục trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) và \(h'(x) = - 3{x^2} + 6x < 0,\forall x \in (2; + \infty )\) nên h(x) nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} h(x) = h(2)\).
Do đó \(m \ge - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in (2; + \infty )\)
\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} h(x) = h(2)\)
\( \Leftrightarrow m \ge 7\)
Do m nguyên thuộc khoảng ( - 2019;2019) nên \(m \in \left\{ {7;8;9;...;2018} \right\}\).
Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Phạm Hồng Thái
