Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 3 ,f\left( x \right) > 0,\forall x \in R\) và \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in R.\) Khi đó giá trị \(f(1)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = 2x + 1\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \)
\( \Rightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \)
Tính \(\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} \) ta đặt $\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Leftrightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt\)
\( \Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt\)
Thay vào ta được \(\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\frac{{tdt}}{t}} = \int {dt} = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C\)
Do đó \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C = {x^2} + x.\)
\(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3.\)
Từ đó:
\(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = 5\)
\( \Leftrightarrow 1 + {f^2}(1) = 25 \Leftrightarrow {f^2}(1) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Sở GD & ĐT Bắc Ninh lần 2