Cho hàm số f(x) có f(0) = -1 và \(f'\left( x \right) = x\left( {6 + 12x + {e^{ - x}}} \right),\forall x \in R\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(f'\left( x \right) = x\left( {6 + 12x + {e^{ - x}}} \right),\forall x \in R\) nên f(x) là một nguyên hàm của f'(x)
\(\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = \int {x\left( {6 + 12x + {e^{ - x}}} \right){\rm{d}}x} } = \int {\left( {6x + 12{x^2}} \right){\rm{d}}x + \int {x{e^{ - x}}{\rm{d}}x} } \)
Mà \(\int {\left( {6x + 12{x^2}} \right){\rm{d}}x = 3{x^2} + 4{x^3}} + C\)
Xét \(\int {x{e^{ - x}}{\rm{d}}x} \): Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ {\rm{d}}v = {e^{ - x}}{\rm{d}}x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = - {e^{ - x}} \end{array} \right.\)
\(\int {x{e^{ - x}}{\rm{d}}x = - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}} } {\rm{d}}x = - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C = - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}} + C\)
Suy ra \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 4{x^3} - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}} + C,\forall x \in R\).
Mà \(f\left( 0 \right) = - 1 \Rightarrow C = 0\) nên \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 4{x^3} - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}},\forall x \in R\).
Ta có
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 4{x^3} - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {{x^3} + {x^4}} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^{ - x}}{\rm{d}}x} = 2 - \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^{ - x}}{\rm{d}}x} \)
Xét \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^{ - x}}{\rm{d}}x} \): Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x + 1\\ {\rm{d}}v = {e^{ - x}}{\rm{d}}x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = - {e^{ - x}} \end{array} \right.\)
\(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^{ - x}}{\rm{d}}x} = \left. { - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}{\rm{d}}x} = - 2{e^{ - 1}} + 1 - \left. {{e^{ - x}}} \right|_0^1 = - 2{e^{ - 1}} + 1 - {e^{ - 1}} + 1 = 2 - 3{e^{ - 1}}\)
Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3{e^{ - 1}}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), \(SA = \sqrt 2 a\), tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a (xem hình bên). Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) bằng
.png)
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và có dấu của f'(x) như sau
.PNG)
Hàm số y = f(2-x) có bao nhiêu điểm cực trị
-
Mô đun của số phức z = 3 + 4i là
-
Cho khối lăng trụ đứng \(A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) có BB'=a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(A C=a \sqrt{2}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Gọi z1; z2 nghiệm của phương trình \({z^2} + 4z + 5 = 0\). Tìm \(w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\)
-
Cho hai số phức \({z_1} = 2 - 4i\) và \({z_2} = 1 - 3i.\) Phần ảo của số phức \({z_1} + i\overline {{z_2}} \) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
-
Cho khối hộp đứng có đáy là một hình thoi có độ dài đường chéo nhỏ bằng 10 và góc nhọn bằng 60o. Diện tích mỗi mặt bên của khối hộp bằng 10. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
-
Hai bạn A và B mỗi bạn viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để các chữ số có mặt ở hai số bạn A và B viết giống nhau bằng
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn [-4;4] lần lượt là
-
Viết đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng \((P):2x - y - z + 4 = 0\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}} \cdot \) Biết \(\Delta\) đi qua điểm M(0;1;3)
-
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2 và u4 = 250. Công bội của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2 - ax}}{{bx - c}}\left( {a,b,c \in R,b \ne 0} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tổng các số \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) thuộc khoảng nào sau đây?
-
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 7\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(f(x) = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 9x - 3\) nghịch biến trên R?
-
Cho khối nón có chiều cao h= 2 và bán kính đáy r= 3. Thể tích của khối nón đã cho là
-
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 6 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
-
Cho hình nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và độ dài đường sinh l = 4. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đã cho.
-
Trong không gian Oxyz phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(2;3;0) và vuông góc với mặt phẳng \((P):x + 3y - z + 5 = 0?\)
-
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có \(AB = \sqrt 3 \) và \(\widehat {ACB} = {30^{\rm{o}}}\). Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AC thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích toàn phần của hình nón đó bằng.
