Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho \(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{min}}\,\left| f\left( x \right) \right|=7\). Tổng các phần tử của S là

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + m\) liên tục trên đoạn [0;2].

Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x\)  \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\ x = 0 \in \left[ {0;2} \right]\\ x = - 1 \notin \left[ {0;2} \right] \end{array} \right.\) .

Khi đó \(f\left( 0 \right)=m; f\left( 1 \right)=m-1; f\left( 2 \right)=m+8\).

Suy ra \(f\left( 1 \right)=m-1<f\left( 0 \right)=m<f\left( 2 \right)=m+8\).

Đồ thị của hàm số y = |f(x)| thu được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của (C): y= f(x), còn phần đồ thị phía dưới trục hoành của (C): y =f(x) thì lấy đối xứng qua trục hoành lên trên. Do đó, ta có biện luận sau đây:

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1. \(m + 8 \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 8\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {m + 8} \right| = - m - 8\\ \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {m - 1} \right| = 1 - m \end{array} \right.\). Do đó:

\(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7 \Leftrightarrow 1 - m - m - 8 = 7 \Leftrightarrow m =  - 7\) (loại).

Trường hợp 2. \(m \le 0 < m + 8 \Leftrightarrow  - 8 < m \le 0\), thì đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại x₀ với \({x_0} \in \left[ {0;2} \right]\). Do đó \(\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\). Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7\).

Mặt khác \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = max\left\{ {\left| {m + 8} \right|;\left| {m - 1} \right|} \right\} = max\left\{ {m + 8;1 - m} \right\}\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 - m \ge m + 8\\ 1 - m = 7 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m + 8 > 1 - m\\ m + 8 = 7 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m \le - \frac{7}{2}\\ m = - 6\,\,\,\,\left( {TM} \right) \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m > - \frac{7}{2}\\ m = - 1\,\,\,\,\,\left( {TM} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.\).

Trường hợp 3. \(m - 1 \le 0 < m \Leftrightarrow 0 < m \le 1\), thì đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại x₀ với \({x_0} \in \left[ {0;2} \right]\). Do đó \(\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\).

Măt khác \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 8\).

Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7 \Leftrightarrow m + 8 = 7 \Leftrightarrow m =  - 1\) (loại).

Trường hợp 4. \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\\ \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 8 \end{array} \right.\). Do đó:

\(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7 \Leftrightarrow m - 1 + m + 8 = 7 \Leftrightarrow m = 0\) (loại).

Suy ra \(S = \left\{ { - 1; - 6} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của S là -7.