Cho \(x,y,\,z>0\); \(a,\,b,\,c>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow x{{\log }_{abc}}a=y{{\log }_{abc}}b=z{{\log }_{abc}}c=\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} = 2{\log _{abc}}a\\ \frac{1}{y} = 2{\log _{abc}}b\\ \frac{1}{z} = 2{\log _{abc}}c \end{array} \right.\\ \end{array}\)
Do đó: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\left( {{\log }_{abc}}a+{{\log }_{abc}}b+{{\log }_{abc}}c \right)=2{{\log }_{abc}}abc=2\)
Suy ra: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2-\frac{1}{z}\)
Ta có: \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}=16\left( 2-\frac{1}{z} \right)-{{z}^{2}}=32-\frac{16}{z}-{{z}^{2}}\) (z>0).
Mặc khác, \(\frac{16}{z}+{{z}^{2}}=\frac{8}{z}+\frac{8}{z}+{{z}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{8}{z}.\frac{8}{z}.{{z}^{2}}}=12\).
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow z=2\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 32-12=20 tại z=2.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai lần 2