Cho \(x,y,\,z>0\); \(a,\,b,\,c>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow x{{\log }_{abc}}a=y{{\log }_{abc}}b=z{{\log }_{abc}}c=\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} = 2{\log _{abc}}a\\ \frac{1}{y} = 2{\log _{abc}}b\\ \frac{1}{z} = 2{\log _{abc}}c \end{array} \right.\\ \end{array}\)
Do đó: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\left( {{\log }_{abc}}a+{{\log }_{abc}}b+{{\log }_{abc}}c \right)=2{{\log }_{abc}}abc=2\)
Suy ra: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2-\frac{1}{z}\)
Ta có: \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}=16\left( 2-\frac{1}{z} \right)-{{z}^{2}}=32-\frac{16}{z}-{{z}^{2}}\) (z>0).
Mặc khác, \(\frac{16}{z}+{{z}^{2}}=\frac{8}{z}+\frac{8}{z}+{{z}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{8}{z}.\frac{8}{z}.{{z}^{2}}}=12\).
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow z=2\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 32-12=20 tại z=2.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-3i\) và \({{z}_{2}}=1+5i\). Phần ảo của số phức \({{z}_{1}}.{{z}_{2}}\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}x\le 3\) là
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\) (với \(a,b,c,d\) là các số thực) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ dưới đây:
.PNG)
Chọn khẳng định đúng?
-
Xét \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}\text{d}x\), nếu đặt \(u={{x}^{2}}+1\) thì \(\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}\text{d}x\) bằng
-
Số phức liên hợp của số phức z=3-12i là
-
Số nghiệm của phương trình \({{3}^{x}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}\) là
-
Với x là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}} \right)\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 1;-2;3 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-2}{3}=\frac{3-y}{4}=\frac{z}{2}\). Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của \({f}'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\,\text{d}x=2\) và \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}\,\text{d}x=-4\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}\,\text{d}x\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), SA=2a, tam giác ABC vuông cân tại C và \(AC=a\sqrt{2}\) (minh họa như hình bên).
.png)
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Số nghiệm trong đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) của phương trình \(f(2\sin 2x+1)=1\) bằng
-
Cho hàm số \(y=\left( 2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\), số giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) với trục hoành là
-
Cho khối cầu có thể tích \(V=288\pi \). Bán kính của khối cầu bằng
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị trong hình dưới. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)+2=0\) là
.PNG)
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+4\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\).
-
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, \(AB=a\sqrt{3}\), BC=2a. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì hình tam giác ABC tạo thành một khối nón tròn xoay có thể tích bằng
-
Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài thực vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức \(P(t)=75-20 \ln (t+1), t \geq 0\) (đơn vị %). Hỏi sau bao lâu nhóm học sinh đó chỉ còn nhớ được dưới 10% của danh sách ?
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho \(\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{max}}\,\left| f\left( x \right) \right|+\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{min}}\,\left| f\left( x \right) \right|=7\). Tổng các phần tử của S là
