Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\left| f\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)+m \right|\) có giá trị nhỏ nhất không vượt quá 5?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=\sin x+\sqrt{3}\cos x\)
Ta có: \(t=2\left( \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right)=2\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right].\)
Khi đó ta có: \(y=\left| f\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)+m \right|=\left| {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+1+m \right|\)
Xét hàm số \(g\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+m+1\) trên \(\left[ -2;2 \right]\) ta được:
\(g'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t \Rightarrow g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = 2 \end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} g\left( { - 2} \right) = m - 19\\ g\left( 0 \right) = m + 1\\ g\left( 2 \right) = m - 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( t \right) = m - 19\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( t \right) = m + 1 \end{array} \right.\)
TH1: \(\left( m+1 \right)\left( m-19 \right)\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 19\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| g\left( t \right) \right|=0\)
=> Có 21 giá trị m thỏa mãn bài toán.
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 19 > 0\\ m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 19 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} \left| {g\left( t \right)} \right| = m - 19\)
\(\Rightarrow m-19\le 5\Leftrightarrow m\le 24\Rightarrow 19<m\le 24\)
\(\Rightarrow m\in \left\{ 20;21;22;23;24 \right\}\)
\(\Rightarrow \) Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán.
TH3: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 19 < 0\\ m + 1 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} \left| {g\left( t \right)} \right| = - \left( {m + 1} \right)\)
\(\Rightarrow -m-1\le 5\Leftrightarrow m\ge -6\Rightarrow -6\le m<-1\)
\(\Rightarrow m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2 \right\}\)
\(\Rightarrow \) Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Vậy có: \(21+5+5=31\) giá trị m thỏa mãn bài toán.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Long An lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \(\frac{7}{13}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(k=\frac{IA}{IS}\) ?
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}.\) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB=2a,AD=a.\) Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45°. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là:
-
Có hai bút chì màu, các bút chì khác nhau. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có 8 bút chì đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:
-
Cho hàm số \(y=\sqrt{3x-{{x}^{2}}}.\) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°. Gọi M là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:
-
Biết rằng đồ thị hàm số \(y=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là \({{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}}.\) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \(\frac{1}{1-{{x}_{1}}}+\frac{1}{1-{{x}_{2}}}+\frac{1}{1-{{x}_{3}}}+\frac{1}{1-{{x}_{4}}}>1?\)
-
Đồ thị trong hình là của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Nhận định nào dưới đây là đúng?
-
Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng \(a,\) cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}.\) Gọi O là tâm của đáy \(ABC,{{d}_{1}}\) là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và \({{d}_{2}}\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng (SBC). Tính \(d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}.\)
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh BC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) bằng 60°. Biết diện tích tam giác A'BC bằng \(2{{a}^{3}}.\) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+2}{{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}}\) có 3 đường tiệm cận.
-
Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Biết \(AC'=a\sqrt{3}.\)
-
Biết đường thẳng \(y=\left( 3m-1 \right)x+6m+3\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ sau?
.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
.png)
-
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA=2\sqrt{3}a.\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
-
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}.\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp đó theo \(a.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(M\left( a;f\left( x \right) \right),\left( a\in K \right).\)
-
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y=\left( 3m+1 \right)x+3+m\) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1.\)
