Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({{x}^{2}}f\left( {{x}^{5}} \right)+xf\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{4}}+x+3,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \(\forall x\in \mathbb{R}\) ta có : \({{x}^{2}}f\left( {{x}^{5}} \right)+xf\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{4}}+x+3\)
\(x=0\) không là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế của phương trình với \({{x}^{2}}\) ta được
\({{x}^{4}}f\left( {{x}^{5}} \right)+{{x}^{3}}f\left( 1-{{x}^{4}} \right)\)\( ={{x}^{2}}\left( -3{{x}^{4}}+x+3 \right)\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f\left( {{x}^{5}} \right)\text{d}x}\)\( +\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}f\left( 1-{{x}^{4}} \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}\left( -3{{x}^{4}}+x+3 \right)\text{d}x}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{f\left( {{x}^{5}} \right)\text{d}\left( {{x}^{5}} \right)}\)\( -\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-{{x}^{4}} \right)\text{d}\left( 1-{{x}^{4}} \right)}=\frac{23}{28}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\)\( +\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\)\( =\frac{23}{28}\)\( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\)\( =\frac{115}{63}\). Chọn D.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Vụ Bản
Câu hỏi liên quan
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4x+\sin x\) là
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{3}}\left( 3x+1 \right)\) là
-
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(1\left( m \right)\) như hình vẽ bên.
.PNG)
Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(x\,\left( m \right)\) sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của \(x\) để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;8 \right]\) và thỏa mãn
\(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ f\left( {{x}^{3}} \right) \right]}^{2}}}dx+2\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{3}} \right)}dx-\frac{4}{3}\int\limits_{1}^{8}{f\left( x \right)}dx=-\frac{247}{15}\).
Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 1;8 \right].\)Tích phân \(\int\limits_{1}^{8}{xF'\left( x \right)}dx\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -2;0;1 \right)\) và \(B\left( -2;2;-3 \right).\)Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right)=m\) có hai nghiệm phân biệt là
-
Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\ \left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)\) và hàm số bậc ba \(g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px+q\ \left( m,n,p,q\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới.
.PNG)
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) bằng 96 và \(f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) và \(x=0,\ x=2\) bằng
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số \(1,2,3,4,5.\)Chọn ngẫu nhiên hai số từ \(S,\) tính xác xuất để hai số chọn được đều là số có ba chữ số.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-6x\) trên đoạn \(\left[ -1;4 \right]\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết hàm số \(y={{f}'}'(x)\) là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên.
.PNG)
Đặt \(g(x)=2f\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)+f\left( -{{x}^{2}}+6 \right)\), biết rằng \(g(0)>0\) và \(g\left( 2 \right)<0.\) Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\) là
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8\) và hai điểm \(A\left( 4;-4;3 \right),\)\)B\left( 1;-1;7 \right).\) Gọi \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là tập hợp các điểm \(M\in (S)\) sao cho biểu thức \(\left| MA-2MB \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó là
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{1-3x}}=\frac{1}{32}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y=f\left( x \right)+1\) bằng
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là
.PNG)
-
Cho khối nón có bán kính đáy \(r=3\) và góc ở đỉnh bằng \(60{}^\circ \). Thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
-
Biết \(F\left( x \right)={{x}^{2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_{1}^{3}{\left[ 2+f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r=3\) và độ dài đường sinh \(l=5.\) Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
-
Cho khối chóp có thể tích \(4{{a}^{3}}\) và diện tích đáy \(4{{a}^{2}}.\) Chiều cao của khối chóp đã cho bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( 1;-2;5 \right)\) và \(B\left( -2;-2;1 \right).\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
