Cho hàm số \(f\left( x \right),f\left( -x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right)+3f\left( -x \right)=\frac{1}{4+{{x}^{2}}}\). Tính \(I=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=-x\Rightarrow dx=-dt\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=-2\Rightarrow t=2 \\ & x=2\Rightarrow t=-2 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow I=-\int\limits_{2}^{-2}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( -x \right)dx}\).
Theo bài ra ta có: \(2f\left( x \right)+3f\left( -x \right)=\frac{1}{4+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 2\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}+3\int\limits_{-2}^{2}{f\left( -x \right)dx}=\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\)
\(\Leftrightarrow 3I+2I=\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow I=\frac{1}{5}\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{4+{{x}^{2}}}}\).
Đặt \(x=2\tan u\) ta có: \(dx=2\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}du=2\left( 1+{{\tan }^{2}}u \right)du\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=-2\Rightarrow u=\frac{-\pi }{4} \\ & x=2\Rightarrow u=\frac{\pi }{4} \\ \end{align} \right.\).
Khi đó ta có \(I=\frac{1}{5}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{2\left( 1+{{u}^{2}} \right)du}{4+4{{\tan }^{2}}u}}=\frac{1}{10}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{du}=\left. \frac{1}{10}u \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{10}\left( \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\pi }{20}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right)-1=m\) có đúng 2 nghiệm.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 0;-2;-1 \right),B\left( -2;-4;3 \right), C\left( 1;3;-1 \right)\). Tìm điểm \(M\in \left( Oxy \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Tính \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\) bằng:
-
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a,AD=b,AC=c. Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' bằng bao nhiêu?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;3 \right)\). Thể tích tứ diện OABC bằng:
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \). Tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số 2 và thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là:
-
Cho các số thực dương a, b với \(a\ne 1\) và \({{\log }_{a}}b>0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Tập xác định của hàm số \({\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^\pi }\) là:
-
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x-\sqrt{4-{{x}^{2}}}\). Khi đó M-m bằng:
-
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) và \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=4\). Kết quả \(I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}dx}\) bằng:
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có tổng n số hạng đầu tiên là \({{S}_{n}}={{6}^{n}}-1\). Tìm số hạng thứ năm của cấp số cộng đã cho
-
Hai đồ thị của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x-1\) và \(y=3{{x}^{2}}-2x-1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+9=0\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0\)
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
-
Một khối gỗ hình lập phương có thể tích \({{V}_{1}}\). Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó thành một khối trụ có thể tích là \({{V}_{2}}\). Tính tỉ số lớn nhất \(k=\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\)?
-
Khối trụ tròn xoay có đường kính là 2a, chiều cao là h=2a có thể tích là:
-
Cho hàm số y = f(x) bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Phát biểu nào sau đây đúng?
