Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\in \left( -10\,;\,10 \right)\) để hàm số \(y=f\left( 3x-1 \right)+{{x}^{3}}-3mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( -2\,;\,1 \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(y'=3f'\left( 3x-1 \right)+3{{x}^{2}}-3m=3\left( f'\left( 3x-1 \right)+{{x}^{2}}-m \right)\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( -2;1 \right)\) thì:
\(y'\ge 0,\forall x\in \left( -2;1 \right)\Leftrightarrow \left( f'\left( 3x-1 \right)+{{x}^{2}}-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( -2;1 \right)\)
\(f'\left( 3x-1 \right)+{{x}^{2}}\ge m,\forall x\in \left( -2;1 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -2;1 \right)}{\mathop{\min }}\,\left( f'\left( 3x-1 \right)+{{x}^{2}} \right)\)
Đặt \(f'\left( 3x-1 \right)=g\left( x \right)\) và \({{x}^{2}}=h\left( x \right)\)
Quan sát bảng biến thiên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( {3x - 1} \right) \ge - 4 = f'\left( 0 \right),3x - 1 \in \left( { - 7;2} \right)\\ h\left( x \right) = {x^2} \ge 0 = h\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( {3x - 1} \right) \ge - 4 = f'\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\\ h\left( x \right) = {x^2} \ge 0 = h\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow f'\left( 3x-1 \right)+h\left( x \right)\ge -4+0=-4,x=0\)
\(\Rightarrow \underset{\left( -2;1 \right)}{\mathop{\min }}\,\left[ g\left( x \right)+h\left( x \right) \right]=-4,x=0\)
Do đó: \(\underset{\left( -2;1 \right)}{\mathop{\min }}\,\left( f'\left( 3x-1 \right)+{{x}^{2}} \right)=-4\)
Vì \(m\in \left( -10;10 \right)\) và \(m\le -4\) nên tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là -39
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Ấp Bắc lần 3