Cho hàm số\(y={{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}-3mx+2m+1\) có đồ thị (Cm), biết rằng đồ thị \(({{C}_{m}})\) luôn đi qua hai điểm cố định \(A,\,B.\) Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) thuộc đoạn \(\left[ -2020;2020 \right]\) để \(({{C}_{m}})\) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(AB\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHàm số được viết lại thành \(\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)m+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1-y=0.\)
Một điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là điểm cố định của đồ thị hàm số thì phương trình \(\left( x_{0}^{2}-3x_{0}^{{}}+2 \right)m+x_{0}^{3}-x_{0}^{2}+1-{{y}_{0}}=0\) phải nghiệm đúng với mọi \(m,\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} x_0^2 - 3{x_0} + 2 = 0\\ x_0^3 - x_0^2 + 1 - {y_0} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 1;{y_0} = 1\\ {x_0} = 2;{y_0} = 5 \end{array} \right..\)
Giả sử \(A\left( 1;1 \right),B\left( 2;5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 1;4 \right)\) khi đó hệ số góc của đường thẳng \(AB\) là \(k=4.\)
Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-3mx+2m+1\)
Để trên đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng \(AB\) thì hệ số góc tại tiếp điểm phải bằng \(k'=-\frac{1}{4}.\) Điều đó xảy ra khi và chỉ khi \(f'\left( x \right)=-\frac{1}{4}\) có nghiệm.
Ta có \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-3m.\)
Phương trình \(f'\left( x \right)=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-3m=-\frac{1}{4}\left( 1 \right).\)
Phương trình (1) có nghiệm khi \(\Delta '\ge 0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{-7-4\sqrt{3}}{2} \right]\cup \left[ \frac{-7+4\sqrt{3}}{2};+\infty \right).\)
Với \(\frac{-7+4\sqrt{3}}{2}\approx -0,03\) nên các số nguyên dương \(m\in \left[ -2020;2020 \right]\) là \(\left\{ 1;2;3;...;2020 \right\}.\)
Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Ấp Bắc lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) có bảng biến thiên như hình vẽ.
.png)
Số nghiệm của phương trình \(f(x)+3=0\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau
.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Đường cong ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
-
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, thể tích bằng 1. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SA\), mặt phẳng chứa MC song song với BD chia khối chóp thành hai khối đa diện. Thể tích \(V\) khối đa diện chứa đỉnh A là
-
Cho đa giác đều có 10 cạnh. Số tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đã cho là
-
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-2x-m}\) có đúng hai tiệm cận đứng là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m\) ( với m là tham số thực). Biết \(\underset{\left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=5\) . Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left( 0;+\infty \right)\) là
-
Ông A dự định sử dụng hết \(8\text{ }{{m}^{2}}\)kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng ( các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
-
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{3-2x}{x+1}\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( ABCD \right),\text{ }\widehat{SAB}={{60}^{0}},\text{ }SA=2a.\) Thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) là
-
Cho \(x,\,\,y,\,\,z>0;a,\,\,b,\,\,c>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt[3]{abc}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-{{z}^{2}}+z\) thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AC=2a\) biết rằng \(\left( A'BC \right)\) hợp với đáy \(\left( ABC \right)\) một góc \({{45}^{0}}\).Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
-
Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng \(2500\) năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao \(147\) m, cạnh đáy dài \(230\) m. Thể tích \(V\) của khối chóp đó là
-
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc 5. Hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
.png)
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x-2 \right)+{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\) là
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Kết quả \(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{2{{x}^{3}}+2}\) bằng:
-
Có hai giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{mx + \sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}{{2x - 1}}\) có một tiệm cận ngang là y = 1. Tổng hai giá trị này bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=(x+1){{(x-2)}^{3}}{{(x-3)}^{4}}{{(x+5)}^{5}}\text{; }\forall x\in \mathbb{R}\) . Hỏi hàm số \(y=f(x)\) có mấy điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
