Cho hai số thực x, y thỏa mãn ${\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 5 - x - ({y^2} + xy - 3y)$.

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB = AC = b và có các cạnh bên bằng b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC bằng

Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

Cho các số thực dương a, b, c và a khác 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai số phức ${z_1} = 3 - i$ và ${z_2} = 1 - 2i$. Tìm số phức ${\rm{w}} = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$.

Cho hai số phức z = 3 - 5i và w =  - 1 + 2i. Điểm biểu diễn số phức $z' = \overline z - {\rm{w}}.z$ trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là

Cho phương trình log₉x² - log₃(3x - 1) = -log₃m (m là số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

Với số thực dương a bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình ${\log _2}\left( {2x + m} \right) - 2{\log _2}x = {x^2} - 4{\rm{x}} - 2m - 1$ có 2 nghiệm thực phân biệt.

Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos x + x là

Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? Biết $\overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow v = \left( {0;2; - 1} \right)$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn ${5^{{x^2}}} = {5^x}$?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$ và điểm A(-2;1;0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa d.

Cho (u_n) là cấp số cộng với công sai d. Biết ${u_7} = 16,{\rm{ }}{{\rm{u}}_9} = 22$. Tính u₁.

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0) và B(2;1;2). Phương trình tham số của đường thẳng AB là

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và P lần lượt là tâm các mặt bên ABB'A', ACC'A' và BCC'B'. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P bằng

Cho số phức z = 2 + i. Số phức liên hợp $\overline z$ có phần thực, phần ảo lần lượt là

Cho số phức z = 1 - 2i, điểm M biểu diễn số phức $\overline z$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là

Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{x + 1}} > 0$ là

Có bai nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${\cos ^3}x + {\left( {m - \sqrt 3 \sin x} \right)^3} - 2\cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + m = 0$ có nghiệm.