Cho hai số thực x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 5 - x - ({y^2} + xy - 3y)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} > 0 \Leftrightarrow x + y > 0\).
Ta có \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x + y} \right) - 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = {x^2} + {y^2} + xy - 3{\rm{x}} - 3y\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x + y} \right) + 2 - 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2 - 3{\rm{x}} - 3y\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {3{\rm{x}} + 3y} \right) + \left( {3{\rm{x}} + 3y} \right) = 2{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 3} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2(*) \end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = 2{\log _3}t + t,t \in \left( {0; + \infty } \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = \frac{2}{{t.\ln 3}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Suy ra hàm f(t) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Phương trình (*) \( \Leftrightarrow f\left( {3{\rm{x}} + 3y} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3{\rm{x}} + 3y\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^2} + xy - 3y = - {x^2} + 3x - 2\\ P = 5 + x - ({y^2} + xy - 3y) = {x^2} - 2x + 7 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 6 \ge 6 \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây.
.png)
-
Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? Biết \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow v = \left( {0;2; - 1} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).
-
Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn \({5^{{x^2}}} = {5^x}\)?
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
-
Cho phương trình log9x2 - log3(3x - 1) = -log3m (m là số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \sqrt {18 - {x^2}} \) là:
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
.PNG)
-
Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos x + x là
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\left| {2f\left( x \right) + m} \right|} \right) = 1\) có đúng 2 nghiệm trên [-1;1]?
.PNG)
-
Thể tích V của một khối cầu có bán kính R là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3\) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{x + 1}} > 0\) là
-
Có bai nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({\cos ^3}x + {\left( {m - \sqrt 3 \sin x} \right)^3} - 2\cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + m = 0\) có nghiệm.
-
Cho số phức z = 2 + i. Số phức liên hợp \(\overline z \) có phần thực, phần ảo lần lượt là
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình bên. Phương trình \(f\left( x \right) = \pi \) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
.png)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 7 = 0\). Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
-
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = 2{{\rm{x}}^3} - 3{\rm{x}} + 2\) và parabol \(\left( P \right):y = - {x^2} + 10{\rm{x}} - 4\).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0) và B(2;1;2). Phương trình tham số của đường thẳng AB là
-
Cho khối trụ T có trục OO', bán kính r và thể tích V. Cắt khối trụ T thành hai phần bởi mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng bằng \(\frac{r}{2}\) (như hình vẽ). Gọi V1 là thể tích phần không chứa trục OO'. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{V}\).
.png)
-
Cho khối chóp tam giác có chiều cao 10dm, diện tích đáy 300dm2. Tính thể tích khối chóp đó.
