Cho hai số thực \(x,y\) thay đổi thỏa mãn điều kiện \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2.\) Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(P=2\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)-3xy\). Giá trị của \(M+m\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(P=2\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)-3xy=2\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)-3xy=2\left( x+y \right)\left( 2-xy \right)-3xy.\)
Đặt \(t=x+y\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\Rightarrow {{t}^{2}}=2+2xy\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-2}{2}=xy.\)
Do \({{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy\Leftrightarrow {{t}^{2}}\ge 2\left( {{t}^{2}}-2 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}\le 4\Leftrightarrow -2\le t\le 2.\)
Suy ra \(P=2t\left( 2-\frac{{{t}^{2}}-2}{2} \right)-\frac{3\left( {{t}^{2}}-2 \right)}{2}=-{{t}^{3}}-\frac{3}{2}{{t}^{2}}+6t+3=f\left( t \right)\) với \(t\in \left[ -2;2 \right].\)
Khi đó: \(f'\left( t \right) = - 3{t^2} - 3t + 6;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} - 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 2 \end{array} \right..\)
Suy ra \(f(-2)=-7,f(1)=\frac{13}{2},f(2)=1\Rightarrow M=\frac{13}{2};m=-7\Rightarrow M+m=-\frac{1}{2}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Yên Dũng số 2 lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB=BC=a,AA'=a\sqrt{2},M\) là trung điểm \(BC. \) Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C. \)
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A. \) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(\left( ABC \right).\) Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(\frac{\sqrt{17}}{6}a,\) cạnh bên \(AA'\) bằng \(2a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) biết \(AB<a\sqrt{3}.\)
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}.\) Gọi G là trọng tâm của tam giác \(SBD. \) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A,G\) và song song với \(BD,\) cắt \(SB,SC,SD\) lần lượt tại \(E,M,F.\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.AEMF.\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
.png)
-
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
.png)
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{n}}=4n-3.\) Tìm công sai \(d\) của cấp số cộng.
-
Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x>0\) ta được
-
Đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=\frac{2x+1}{x+1}\) cắt đường thẳng \(d:y=x+m\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thỏa mãn \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) khi \(m=\frac{a}{b}.\) Biết \(a,b\) là nguyên dương; \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(S=a+b.\)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=3,BC=4,SA=2\). Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng 4. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng
-
Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh \(a\) bằng
-
Số điểm cực trị của hàm số \(y=2{{x}^{3}}-6x+3\) là
-
Tập xác định của hàm số \(y={{x}^{\sqrt{3}}}\) là
-
Xét các số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({{\log }_{5}}\left( {{5}^{a}}{{.25}^{b}} \right)={{5}^{{{\log }_{5}}a+{{\log }_{5}}b+1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho ngẫu nhiên 4 đỉnh của một đa giác đều 24 đỉnh. Tìm xác suất để chọn được 4 đỉnh là 4 đỉnh của một hình vuông?
-
Tìm số hạng đều tiên của cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với công bội \(q=2,{{u}_{8}}=384.\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) hàm số \(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên
.jpg.png)
Bất phương trình \(f\left( x \right)<2x+m\) (\(m\) là tham số thực) có nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( 0;2 \right)\) khi và chỉ khi
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{\sin }^{2}}x \right)=m\) có nghiệm
.jpg.png)
-
Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh \(2a.\) Đường cao của hình nón là
-
Cho hàm số \(y=\frac{5x+9}{x-1}\) khẳng định nào sau đây là đúng?
