Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-5+3i \right|=\left| {{z}_{1}}-1-3i \right|,\left| {{z}_{2}}-4-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2+3i \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| \overline{{{z}_{1}}}-6+i \right|+\left| {{z}_{2}}-6-i \right|\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({{z}_{1}}=x+yi\) thì \(\left| {{z}_{1}}-5+3i \right|=\left| {{z}_{1}}-1-3i \right|\Leftrightarrow 2\text{x}-3y-6=0\left( {{d}_{1}} \right).\)
Đặt \({{z}_{2}}=x'+y'i\) thì \(\left| {{z}_{2}}-4-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2+3i \right|\Leftrightarrow \text{x }\!\!'\!\!\text{ +3}y'-3=0\left( {{d}_{2}} \right).\)
Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn của \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thì \(A\in {{d}_{1}};B\in {{d}_{2}}.\)
Gọi \(C\left( 6;1 \right)\).
\(\begin{align} & P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| \overline{{{z}_{1}}}-6+i \right|+\left| {{z}_{2}}-6-i \right| \\ & =\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}-6-i \right|+\left| {{z}_{2}}-6-i \right|. \\ & =AB+AC+BC\ge {{C}_{1}}{{C}_{2}}. \\ \end{align}\)
Với \({{C}_{1}},{{C}_{2}}\) lần lượt đối xứng với C qua \({{d}_{1}};{{d}_{2}}.\)
Phương trình \(C{{C}_{1}}:3x+2y-20=0\Rightarrow {{C}_{1}}\left( \frac{66}{13};\frac{31}{13} \right)\)
Phương trình \(C{{C}_{2}}:3x-y-17=0\Rightarrow {{C}_{2}}\left( \frac{24}{5};\frac{-13}{5} \right)\)
Vậy \({{C}_{1}}{{C}_{2}}=\frac{18}{\sqrt{13}}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thanh Oai A