Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4\). Kết quả \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = - 1\\x = - 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) , khi đó:
\(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} = - \int\limits_1^{ - 1} {\dfrac{{f\left( { - t} \right)dt}}{{1 + {e^{ - t}}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + \dfrac{1}{{{e^x}}}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + {e^x}}}} \)
Do \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nên \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \)
\( \Rightarrow I + I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{\left( {{e^x} + 1} \right)f\left( x \right)dx}}{{1 + {e^x}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4 \Rightarrow I = 2\).
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Quý Cáp