Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) và \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4\). Kết quả \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = - 1\\x = - 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) , khi đó:
\(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} = - \int\limits_1^{ - 1} {\dfrac{{f\left( { - t} \right)dt}}{{1 + {e^{ - t}}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + \dfrac{1}{{{e^x}}}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + {e^x}}}} \)
Do \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nên \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \)
\( \Rightarrow I + I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{\left( {{e^x} + 1} \right)f\left( x \right)dx}}{{1 + {e^x}}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4 \Rightarrow I = 2\).
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Quý Cáp
Câu hỏi liên quan
-
Mệnh đề nào sau đây Sai?
-
Khối trụ tròn xoay có đường kính là \(2a\), chiều cao là \(h = 2a\) có thể tích là:
-
Gọi \(m\) và \(M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x - \sqrt {4 - {x^2}} \). Khi đó \(M - m\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {{x^2} - 1} \right)^3},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right);\,\,B\left( {0;2;0} \right);\,\,C\left( {0;0;3} \right)\). Thể tích tứ diện \(OABC\) bằng:
-
Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0;0} \right);\,\,B\left( {0;3;0} \right);\,\,C\left( {0;0; - 3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
-
Tập xác định của hàm số \({\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^\pi }\) là:
-
Cho \({\log _8}\left| x \right| + {\log _4}{y^2} = 5\) và \({\log _8}\left| y \right| + {\log _4}{x^2} = 7.\) Tìm giá trị của biểu thức \(P = \left| x \right| - \left| y \right|.\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Phát biểu nào sau đây đúng?
-
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}}{{{a^{4 - \sqrt 5 }}.{a^{\sqrt 5 - 2}}}}\) (với \(a > 0\) và \(a \ne 1\) )
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Tính thể tích khối tứ diện \(ABCB'C'\).
-
Đặt \(a = {\log _2}5,\,\,b = {\log _3}5\). Hãy biểu diễn \({\log _6}5\) theo \(a\) và \(b\).
-
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2\). Tính \(\int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \) bằng :
-
Tìm mệnh đề sai trong các mênh đề sau:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right),\,\,f\left( { - x} \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}}\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \).
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A\left( {1;0;2} \right),\,\,\,B\left( { - 2;1;3} \right),\,\,C\left( {3;2;4} \right),\) \(D\left( {6;9; - 5} \right)\). Tọa độ trọng tâm của tứ diện \(ABCD\) là:
-
Tích phân \(\int\limits_0^2 {\dfrac{x}{{{x^2} + 3}}dx} \) bằng:
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là:
-
Cho hai tích phân \(\int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right)dx} = 8\) và \(\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right)dx} = 3\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]dx} \) ?
