Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0 < b < a < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\frac{{4\left( {3b - 1} \right)}}{9} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a - 1\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({\left( {3b - 2} \right)^2} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{4\left( {3b - 1} \right)}}{9} \le {b^2}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l} P \ge {\log _a}{b^2} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a - 1\\ = 2{\log _a}b + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a - 1\\ = {\log _a}b + {\log _a}b + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a - 1\\ = \left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + 8.{\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} \right)^2} + 1\\ \ge 3\sqrt[3]{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).8.{{\left( {\frac{1}{{{{\log }_a}b - 1}}} \right)}^2}}} + 1 = 7 \end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}}};{\rm{ }}b = \frac{2}{3}\) và min(P) = 7
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nam Sài Gòn
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
.png)
Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho
-
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i,{\rm{ }}{z_2} = 3 - i\). Tìm số phức \(z = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\).
-
Hình lập phương có đường chéo của mặt bên bằng 4 cm. Tính thể tích khối lập phương đó.
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của BB'. Mặt phẳng (MDC') chia khối hộp chữ nhật thành hai khối đa diện, một khối chứa đỉnh C và một khối chứa đỉnh A'. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai khối đa diện chứa C và A'. Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
-
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \(\log a = x,\log b = y\). Tính \(P = \log \left( {{a^2}{b^3}} \right)\).
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, tọa độ điểm G' đối xứng với điểm G(5;-3;7) qua trục Oy là
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x{e^x}\), trục hoành, hai đường thẳng x = - 2; x = 3 có công thức tính là
-
Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i.
-
Tập nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 3x}} = \frac{1}{4}\) là
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\left| {{x^2} - 4} \right|\) với đường thẳng y = 3 là
-
Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây
.png)
-
Nếu \(\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln c} \) với \(c \in Q\) thì giá trị của c bằng
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a > 0 thỏa mãn \({\left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2017}} \le {\left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)^a}.\)
-
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác đều ABC cạnh bằng 1 quanh AB.
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\). Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d?
-
Cho khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và chiều cao h = 4. Tính thể tích V của khối nón đã cho.
-
Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({z^2} + 2z + 3 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào sau đây là điểm biểu diễn số phức z1?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 10}}{{2x + m}}\) nghịch biến trên (0;2)?
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^4},\forall x \in R\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
