Biết rằng khi khai triển nhị thức Niutơn \({\left( {\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt[4]{x}}}} \right)^n} = {a_0}.\sqrt {{x^n}} + {a_1}.\sqrt {{x^{n - 1}}} .\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}} + {a_2}.{\sqrt x ^{n - 2}}.{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^2} + {a_3}.{\sqrt x ^{n - 3}}.{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^3}...\)(với n là số nguyên lớn hơn 1) thì ba số \({a_0},{a_1},{a_2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Hỏi trong khai triển trên, có bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng \(30^o\) Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A'B'C') là trung điểm của B’C’. Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC.A'B'C'.

Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm thẻ từ hộp. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng:

Đồ thị hàm số \(y = 2{x^4} - 3{x^2}\) và đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 2\) có bao nhiêu điểm chung?

Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) > 3\) là

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Phương trình \({\log _x}4.{\log _2}\left( {\frac{{5 - 12x}}{{12x - 8}}} \right) = 2\) có bao nhiêu nghiệm thực?

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{3{x^2} - 7x + 2}}{{2{x^2} - 5x + 2}}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng?

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 1\) trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

(I): Nếu f"(x) > 0 trên khoảng \(\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\) và f"(x) < 0 trên khoảng \(\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\left( {h > 0} \right)\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \(x_o\) 

(II): Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm \(x_o\) thì tồn tại các khoảng \(\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right),\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\left( {h > 0} \right)\) sao cho f"(x) > 0 trên khoảng \(\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\) và f"(x) < 0 trên khoảng \(\left( {{x_0};{x_0} + h} \right).\) 

Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\) đáy là tam giác vuông tại A, cạnh BC = a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(I\left( {1;2; - 5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 8 = 0.\) Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 

Tìm tập nghiệm S của phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {{x^x} + 1} \right) = 0\)

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y + 4z - 12 = 0\) cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là:

Cho khối tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và \(OA = a,OB = b,OC = c.\) Thể tích V của khối tứ diện OABC được tính bởi công thức nào sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 6z - 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 1;0;1} \right)\). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\).

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

Cho tứ diện OABC có  OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} \) có kết quả \(I = \ln a + b\) với \(a > 0,b \in R\). Khẳng định nào sau  đây đúng?

Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^8\) trong khai triển Nhị thức Niu tơn của \({\left( {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right)^{2n}}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\), biết số nguyên dương n thỏa mãn \(C_n^3 + A_n^2 = 50.\)