Bất phương trình \({{9}^{x}}-2\left( x+5 \right){{3}^{x}}+9\left( 2x+1 \right)\ge 0\) có tập nghiệm là \(S=\left[ a;b \right]\cup \left[ c;+\infty \right).\) Tính tổng a+b+c
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t={{3}^{x}},t>0.\) Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
\({{t}^{2}}-2\left( x+5 \right)t+9\left( 2x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( t-9 \right)\left( t-2x-1 \right)\ge 0.\)
* Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l} t - 9 \ge 0\\ t - 2x - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t \ge 9\\ t - 2x - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {3^x} \ge 9{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ {3^x} - 2x - 1 \ge 0.{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array} \right.\)
Xét bất phương trình \(\left( 2 \right):\)
Đặt \(g\left( x \right)={{3}^{x}}-2x-1\) trên \(\mathbb{R}.\) Ta có \(g'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-2.\)
Gọi \({{x}_{0}}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(g'\left( x \right)=0,{{x}_{0}}>0.\)
Khi đó, \(g\left( x \right)=0\) có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, \(g\left( x \right)=0\) có hai nghiệm là x=0 và x=1.
Ta có bảng biến thiên
.png)
Từ bảng biến thiên ta có \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\le 0 \\ & x\ge 1 \\ \end{align} \right..\)
Mặt khác \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge 2.\)
Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(x\ge 2\) (*)
* Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l} t - 9 \le 0\\ t - 2x - 1 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t \le 9\\ t - 2x - 1 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {3^x} \le 9\\ {3^x} - 2x - 1 \le 0 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \left( 3 \right)\\ \left( 4 \right) \end{array}\)
Xét bất phương trình \(\left( 4 \right):\)
Đặt \(g\left( x \right)={{3}^{x}}-2x-1\) trên \(\mathbb{R}.\) Ta có \(g'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-2.\)
Gọi \({{x}_{0}}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(g'\left( x \right)=0,{{x}_{0}}>0\)
Khi đó, \(g\left( x \right)=0\) có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, \(g\left( x \right)=0\) có hai nghiệm là x=0 và x=1
Ta có bảng biến thiên
.png)
Từ bảng biến thiên ta có \(\left( 4 \right)\Leftrightarrow 0\le x\le 1.\)
Mặt khác, \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow x\le 2.\)
Kết hợp \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(0\le x\le 1.\left( ** \right)\)
Kết hợp (*) và (**) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\left[ 0;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).\)
Vậy tổng a+b+c=3.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lê Thị Hồng Gấm lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+x+1\) là
-
Cho hình trụ có diện tích đáy là \(B,\) chiều cao là \(h\) và thể tích là \(V.\) Chọn công thức đúng?
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( -1;2;0 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( -1;0;2 \right)\) làm một véc tơ pháp tuyến có phương trình là
-
Cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({{u}_{n}}=2n+3.\) Số hạng thứ 10 có giá trị bằng
-
Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m. Trong số các cây đó có 2 cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, 6 cây cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26 cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng sơn giả đá biết giá thuê là 380000 đồng/1m2 (kể cả vật liệu sơn và nhân công thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy \(\pi =3,14159\)).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z+3=0.\) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( 1;2;-1 \right)\), cắt d và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là phương trình nào dưới đây?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5,\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|.\) Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết rằng đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right)\) được cho bởi hình vẽ bên. Vậy khi đó hàm số \(y=g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{{{x}^{2}}}{2}\) có bao nhiêu điểm cực đại?
.jpg.png)
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{3}}\left( 3a \right)\) bằng
-
Một tổ học sinh có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh của tổ đó tham gia đội xung kích
-
Đường cong trong hình bên phải là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.jpg.png)
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{x+1}dx}\) là
-
Mặt cầu bán kính R nội tiếp trong một hình lập phương. Hãy tính thể tích V của hình lập phương đó.
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, xác định phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( 3;-1;2 \right)\) và tiếp xúc mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-2z=0.\)
-
Tích phân \(\int\limits_{0}^{3}{\left( 2x+1 \right)dx}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz,\) một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục \(Oy\) có tọa độ là
-
Tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{x-2}\) và y=x+1 là
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=4{{x}^{2}}+\frac{1}{x}-2\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) bằng
-
Cho bất phương trình \({{\log }_{3a}}11+{{\log }_{\frac{1}{7}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3ax+10}+4 \right).{{\log }_{3a}}\left( {{x}^{2}}+3ax+12 \right)\ge 0.\) Giá trị thực của tham số a để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a,\widehat{ABC}={{60}^{0}},\) cạnh bên \(SA=\sqrt{2}a\) và SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa SB và (SAC).
