Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với $A\left( { - 1;2;1} \right),B\left( {0;0; - 2} \right),C\left( {1;0;1} \right)$, D(2;1;-1). Tính thể tích tứ diện ABCD.

Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {4; - 2;3} \right)$, $\Delta \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = 4\\ z = 1 - t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$, đường thẳng d đi qua A cắt và vuông góc $\Delta$ có vectơ chỉ phương là 

Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 4z - 2 = 0$ và $\left( Q \right):2x - 2z + 7 = 0$. Góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) là

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 16 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa 2 điểm A(1;0;1) và B(-1;2;2) và song song với trục Ox có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M\left( { - 2; - 2;1} \right),A\left( {1;2; - 3} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}$. Tìm vectơ chỉ phương $\vec u$ của đường thẳng $\Delta$ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm $A\left( {0;1;0} \right),B\left( {2;2;2} \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$. Tìm tọa độ điểm $N \in (d)$ sao cho diện tích tam giác ABN nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0$. Tìm tọa độ điểm M có các tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2.

Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z + 3 = 0$ và đường thẳng $\left( d \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}$. Gọi A là giao điểm của (d) và (P); gọi M là điểm thuộc (d) thỏa mãn điều kiện MA = 2. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng $d:x - 1 = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 4y + 9z - 9 = 0$. Giao điểm I của d và (P) là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = z$. Mặt phẳng (P) vuông góc với $\Delta$ và tiếp xúc với (S) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left( {2;0;0} \right);B\left( {0;3;1} \right);C\left( { - 3;6;4} \right)$. Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình $\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}$. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng (d)?

Cho tọa độ các điểm $A\left( {2;2;3} \right),B\left( {1;3;3} \right)$, C(1;2;4). Chọn phát biểu đúng? 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$ và $d':\frac{x}{6} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{4}$ và điểm M(0;3;-2). Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M và $\Delta$ là

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $M\left( {1;0;2} \right),N\left( { - 3; - 4;1} \right),P\left( {2;5;3} \right)$. Phương trình mặt phẳng (MNP) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều 2 đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ và ${d_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1;2;-1), $B'\left( {2; - 1;3} \right),C\left( {3; - 4;1} \right)$ và D'(0;3;5). Giả sử tọa độ D(x;y;z) thì giá trị của x + 2y - 3z là kết quả nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( {1;3;5} \right),B\left( {2;0;1} \right),C\left( {0;9;0} \right)$. Tìm trọng tâm G của tam giác ABC.