Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H(1;2;3) là trực tâm của \(\triangle A B C\) với A, B, C là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz(khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Giả sử } A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; \mathrm{c})\\ \Rightarrow \overrightarrow{A H}(1-a ; 2 ; 3) ; \overrightarrow{B H}(1 ; 2-b ; 3) ; \overrightarrow{B C}(0 ;-\mathrm{b} ; \mathrm{c}) ; \overrightarrow{A C}(-\mathrm{a} ; 0 ; \mathrm{c})\\ \text { Do } H \text { là trực tâm nên ta có: }\left\{\begin{array} { l } { \overrightarrow { A H } \cdot\overrightarrow { B C } = 0 } \\ { \overrightarrow { B H } \cdot \overrightarrow { A C } = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -2 b+3 c=0 \\ -a+3 c=0 \end{array}\right.\right.\\ \text { Phương trình mặt phẳng }(A B C): \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \text { . }\\ \text { Vì } H \in(A B C) \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1 . \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Do đó ta có hệ phương trình: }\left\{\begin{array} { l } { - 2 b + 3 c = 0 } \\ { - a + 3 c = 0 } \\ { \frac { 1 } { a } + \frac { 2 } { b } + \frac { 3 } { c } = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { a = 2 b } \\ { c = \frac { 2 b } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 2 b } + \frac { 2 } { b } + \frac { 9 } { 2 b } = 1 } \end{array} \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=14 \\ b=7 \text { . } \\ c=\frac{14}{3} \end{array}\right.\right.\right.\\ \text { Vậy phương trình mặt phẳng }(A B C): \frac{x}{14}+\frac{y}{7}+\frac{3 z}{14}=1 \Leftrightarrow x+2 y+3 z-14=0 \text { . } \end{array}\)
