Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với \(A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; 1) \text { và } C(2 ; 1 ; 1) \text { . Gọi } I(a ; b ; c)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khi đó \(a+2 b+c \) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \overrightarrow{A B}=(-1 ; 0 ; 1), \overrightarrow{A C}=(1 ; 1 ; 1) \text { . }\\ &\text { Mặt phẳng }(A B C) \text { có VTPT } \vec{n}=[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(-1 ; 2 ;-1) \text { đi qua } A \text { có phương trình là: }\\ &-1(x-1)+2 y-z=0 \Leftrightarrow-x+2 y-z+1=0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \\ &\left\{\begin{array} { l } { I A = I B } \\ { I B = I C } \\ { I \in m p ( A B C ) } \end{array} \quad \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} (a-1)^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}+(c-1)^{2} \\ a^{2}+b^{2}+(c-1)^{2}=(a-2)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2} \\ -a+2 b-c+1=0 \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { - 2 a + 2 c = 0 } \\ { 4 a + 2 b = 5 } \\ { - a + 2 b - c + 1 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=\frac{1}{2} \\ c=1 \end{array} \Rightarrow I\left(1 ; \frac{1}{2} ; 1\right) \Rightarrow a+2 b+c=1+1+1=3\right.\right.\)