Trong không gian Oxyz , cho ba điểm \(A(0 ; 0 ;-1), B(-1 ; 1 ; 0), C(1 ; 0 ; 1)\). Tìm điểm M sao cho \(3 M A^{2}+2 M B^{2}-M C^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Giả sử } M(x ; y ; z) \Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { \overrightarrow { A M } = ( x ; y ; z + 1 ) } \\ { \overrightarrow { B M } = ( x + 1 ; y - 1 ; z ) } \\ { \overrightarrow { C M } = ( x - 1 ; y ; z - 1 ) } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A M^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2} \\ B M^{2}=(x+1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2} \\ C M^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \end{array}\right.\right.\)
\(\begin{aligned} &\Rightarrow 3 M A^{2}+2 M B^{2}-M C^{2}=3\left[x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}\right]+2\left[(x+1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}\right] -\left[(x-1)^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=4 x^{2}+4 y^{2}+4 z^{2}+6 x-4 y+8 z+6=\left(2 x+\frac{3}{2}\right)^{2}+(2 y-1)^{2}+(2 z+2)^{2}-\frac{5}{4} \geq-\frac{5}{4}\\ &\text { Dấu " }=\text { " xảy ra } \Leftrightarrow x=-\frac{3}{4}, y=\frac{1}{2}, z=-1, \text { khi đó } M\left(-\frac{3}{4} ; \frac{1}{2} ;-1\right) \text { . } \end{aligned}\)
