Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}\) và hai điểm \(A\left( 2;-1;1 \right);B\left( 0;1;-2 \right)\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng d có phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=3-t \\ {} z=-1+2t \\ \end{array} \right.\)
Gọi M là điểm cần tìm. Do nếu M thuộc d thì M nên \(M\left( t;3-t;-1+2t \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AM}=\left( t-2;4-t;2t-2 \right) \\ {} \overrightarrow{BM}=\left( t;2-t;2t+1 \right) \\ \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right]=\left( \left| \begin{matrix} 4-t {} 2t-2 \\ 2-t {} 2t+1 \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 2t-2 {} t-2 \\ 2t+1 {} t \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} t-2 {} 4-t \\ t {} 2-t \\\end{matrix} \right| \right)=\left( t+8;t+2;-4 \right)\)
Do đó
\({{S}_{ABM}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( t+8 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}+16}=\frac{1}{2}\sqrt{2{{\left( t+5 \right)}^{2}}+34}\ge \frac{1}{2}\sqrt{34}\)
Vậy \(\min S=\frac{\sqrt{34}}{2}$khi $t=-5\Rightarrow M\left( -5;8;-11 \right).\)
