Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)={x\sqrt[3]{{3x - 1}}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} I = \int {f\left( x \right)dx} = \int {x\sqrt[3]{{3x - 1}}} dx \end{array}\)
Đặt \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}t = \sqrt[3]{{3x - 1}} \Rightarrow {t^3} = 3x - 1 \Rightarrow 3{t^2}dt = 3dx \Rightarrow {t^2}dt = dx,x = \frac{{{t^3} + 1}}{3}\)
Khi đó \(\begin{array}{l} I = \int {\frac{{{t^3} + 1}}{3}t.{t^2}dt} = \frac{1}{3}\int {\left( {{t^6} + {t^3}} \right)dt} = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{t^7}}}{7} + \frac{{{t^4}}}{4}} \right) + C \end{array}\)
Vậy
\(I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^7}}}}}{7}} \right) + \frac{1}{3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^4}}}}}{4}} \right) + C\\ = \frac{1}{{21}}\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^7}}} + \frac{1}{{12}}\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^4}}} + C\)
