Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3x\sqrt[3]{{1 - 2x}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} I = \int {f\left( x \right)dx} = \int {2x\sqrt[3]{{1 - 2x}}} dx \end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - 2x}} \Rightarrow {t^3} = 1 - 2x \Rightarrow 3{t^2}dt = - 2dx \Rightarrow - \frac{3}{2}{t^2}dt = dx;2x = 1 - {t^3}\)
Khi đó \(I = \int {\left( {1 - {t^3}} \right)t.\left( { - \frac{3}{2}{t^2}} \right)dt} = \frac{{ - 3}}{2}\int {\left( {{t^3} - {t^6}} \right)dt} = - \frac{3}{2}\left( {\frac{{{t^4}}}{4} - \frac{{{t^7}}}{7}} \right) + C\)
Vậy
\(I = \frac{{ - 3}}{2}\left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^4}}}}}{4} - \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^7}}}}}{7}} \right) + C\\ = - \frac{3}{8}\sqrt[3]{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^4}}} + \frac{3}{{14}}\sqrt[3]{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^7}}} + C\)
