Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (-10;10) để hàm số \(y=\frac{1}{3} e^{3 x}+m e^{2 x}+(m-3) e^{x}+2020\) đồng biến trên khoảng \([0 ; \ln 2] ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: } y^{\prime}=e^{3 x}+2 m e^{2 x}+(m-3) e^{x}=e^{x}\left(e^{2 x}+2 m e^{x}+m-3\right) \text { . }\)
\(\begin{array}{l} \text { Để hàm số } y=\frac{1}{3} e^{3 x}+m e^{2 x}+(m-3) e^{x}+2020 \text { đồng biến trên khoảng }[0 ; \ln 2]\\ \Leftrightarrow y^{\prime} \geq 0 \forall x \in[0 ; \ln 2] \Leftrightarrow e^{2 x}+2 m e^{x}+m-3 \geq 0 \forall x \in[0 ; \ln 2]\\ \Leftrightarrow m \geq \frac{3-e^{2 x}}{2 e^{x}+1}=f(x) \forall x \in[0 ; \ln 2] \Leftrightarrow m \geq \max\limits _{[0, \ln 2]} f(x) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Đặt } t=e^{x} \text { . Vì } x \in[0 ; \ln 2] \Rightarrow t \in[1,2] \\ \text { Ta có: } f(x)=\frac{3-t^{2}}{2 t+1} \end{array}\)
\(\text { Xét } f^{\prime}(x)=\frac{-2 t(2 t+1)-2\left(3-t^{2}\right)}{(2 t+1)^{2}}=\frac{-2 t^{2}-2 t-6}{(2 t+1)^{2}}<0 \forall t \in[1 ; 2]\)
\(\text { hàm số } f(x) \text { nghịch biến }\text { trên đoạn }[1 ; 2]\)
\(\Rightarrow \max\limits _{[0 ; \ln 2]} f(x)=\max\limits _{[1 ; 2]} f(t)=f(1)=\frac{2}{3} \Rightarrow m \geq \frac{2}{3} .\)
\(\text { Vì } m \in Z, m \in(-10 ; 10) \Rightarrow \text { có } 9 \text { số nguyên } m \text { thỏa mãn }\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \left( {4 - m} \right)\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {5 - 2m} \right)x + {m^2} + 3,\), với m là tham số thực.
Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}}\) có đồ thị C và bảng biến thiên sau:.png)
Tìm m sao cho hàm số f(x) đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó lớn hơn -1
-
Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 4m}}{{x + m}}\) với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
-
Tìm các giá tị của tham số m để hàm số \(y=\frac{\cos x+1}{10 \cos x+m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) ?\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {x^2} – 2x, \forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = – 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên R?
\(y' = - \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - m + 2\)
-
Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(y=f\left(3-x^{2}\right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Hàm số y = 2x2 – x4 nghịch biến trên những khoảng nào?
-
Tìm khoảng đồng biến của hàm số \(f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x\)
-
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x – m\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\).
-
Tìm tham số m thì hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-m x^{2}+(2 m-1) x-m+2\) đồng biến trên R?
-
Tìm giá trị của tham số m sao cho để hàm số \(f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}-(m-1) x^{2}+(m-7) x-2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Tìm tổng S của tất cả các giá nguyên của \(m\in[-10;10]\) để hàm số \(y=\left(m^{2}+2 m+1\right) x+\left(m^{2}-m+1\right) \cos x\) luôn đồng biến trên \((0 ; 2 \pi)\).
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị f '(x) như hình vẽ
Hàm số \(f\left(x^{2}\right)\) đồng biến khoảng nào dưới đây?
-
Hàm số \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiabg2 % da9iaadIhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaGccqGHsislcaWG4bWaaWba % aSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0IaamiEaiabgUcaRiaaiodaaaa!404F! y = {x^3} - {x^2} - x + 3\) nghịch biến trên khoảng
-
Cho hàm số f(x)có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số \(y=6 f(x-1)-2 x^{3}+3 x^{2}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm\(f^{\prime}(x)=x\left(x^{2}-1\right)(x-4)\) . Hàm số y=f(3-x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tìm m để hàm số \(y = \frac{{\cos x – 2}}{{\cos x – m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\)
-
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2\) đồng biến trên khoảng nào?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm \(f^{\prime}(x)=x(x-1)^{2}\left(x^{2}+m x+9\right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm m để hàm số \(y=f(3-x)\) đồng biến trên khoảng \((0 ;+\infty)\).
-
Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
