Cho mặt cầu $S\left( O;R \right),A$ là một điểm ở trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng ${{60}^{0}}.$ Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ Có tâm $I$, bán kính $R=5$. Một đường thằng $\Delta$ cắt $\left( S \right)$ tại $2$ điểm $M$, $N$ phân biệt nhưng không đi qua $I$. Đặt $MN=2m$. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác $IMN$ lớn nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right): {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 34$. Điểm nào dưới đây thuộc $\left( S \right)$?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B  và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB bằng

Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?

Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=a\sqrt{3},$ $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $A\sqrt{2}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo a.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z – 1}}{2}$ và điểm $I\left( {1; – 2;5} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I có phương trình là:

Diện tích mặt cầu có bán kính $R$ là

Cho hình chóp S.ABC  có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 5, AB = 3, BC = 4. Bán kính R  của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 4 = 0$ và hai điểm $A(4;2;4),\,\,B(1;4;2)$. MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng với $\vec u = (0;1;1)$ và $MN = 4\sqrt 2$. Tính giá trị lớn nhất của $\left| {AM – BN} \right|$.

Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},$, trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp.

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và thể tích bằng $\frac{{256\pi }}{3}$. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;\,0;\, – 2} \right)$, bán kính r = 4?

Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là  18π(dm³)  . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn  lại trong bình.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $2\sqrt 2$ và cắt mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ của điểm I.

Cho điểm $I\left( {1;0;3} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}$. Phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho $\Delta IAB$ đều là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{3}$ và ${d_2}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 9}}{3}$. Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ có phương trình là:

Một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt cầu là bao nhiêu? (lấy ${\rm{\pi }} \approx \frac{{22}}{7}$ và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=2a,AD=a.$ Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng ${{45}^{0}}.$ Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp $S.ABCD$ và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $N.ABC.$ Biểu thức liên hệ giữa R và $h$ là: