Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right): {x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 34$. Điểm nào dưới đây thuộc $\left( S \right)$?

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và diện tích bằng $32\pi .$ Phương trình của $\left( S \right)$ là

Người ta thả một viên bi sắt có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi sắt đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong lòng cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên bi sắt đó bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu có phương trình $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}+z^{2}=9$.Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó. 

Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc (ABC), ABC là tam giác vuông tại B. Biết $BC = a, AB = a\sqrt 3 , AD = 3a$. Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right)$, $AB=1$, $AC=2$ và $\widehat{BAC}=60{}^\circ .$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SC$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu đi qua các điểm $A$, $B$, $C$, $M$, $N$.

Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm $I(2 ; 1 ;-4)$ và mặt phẳng $(P): x+y-2 z+1=0$ . Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S). 

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9$. Khối cầu $\left( S \right)$ có thể tích bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm I(-2;1;3) và mặt phẳng$(P):2 x-y+2 z-10=0 \text { . }$ . Tính bán kính r của mặt cầu (S), biết rằng (S) có tâm I và nó cắt (P) theo một đường tròn (T) có chu vi bằng $10\pi$ . 

Biết rằng đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.$ là tiếp tuyến của mặt cầu tâm I(0;0;1). Bán kính R của mặt cầu đó là

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh là 10cm. Gọi O là tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu là:

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu?

Cho hình chóp đều n cạnh $(n \ge 3)$. Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là R và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60⁰ , thể tích khối chóp bằng $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^3}$  . Tìm n?

Khẳng định nào sau đây là sai? Các hình chóp nào sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm H của cạnh $BC.$ Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Gọi G là trọng tâm tam giác $SAC,R$ là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( SAB \right).$ Đẳng thức nào sau đây sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B và BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { – 1;2;3} \right)$ cắt mặt phẳng $\left( \beta \right):2x – y + 2z – 8 = 0$ theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng $8\pi$ có diện tích bằng

Khi cắt mặt cầu $S\left( O,\text{ }R \right)$ bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu $S\left( O,\text{ }R \right)$ nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết $R=1$, tính bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu $S\left( O,\text{ }R \right)$ để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Khối cầu thể tích V  thì bán kính là: