Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = BC = 2a,\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = {90^o}.\) Và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(a\sqrt 2 \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC theo a.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi K là trung điểm của BC.
Do \(\widehat {SCB} = \widehat {SAB} = {90^o}\) nên dễ dàng nhận thấy trung điểm II của SBSB là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC.
Gọi MM là trung điểm của AC. Tam giác ABCABC vuông tại B, ta có MA=MB=MC, mặt khác IA=IB=IC, do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay IM⊥(ABC).
Ta có \(d\left( {M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\)
Trong tam giác IMKIMK, kẻ MH ⊥ IK (1)
\(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot IM\\ BC \bot MK \end{array} \right.\)⇒ BC ⊥ (IMK) ⇒ BC ⊥ MH(2).
Từ (1),(2) suy ra MH ⊥ (SBC).
Xét tam giác vuông IMK ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{I^2}}} + \frac{1}{{M{K^2}}}}\\ { \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{M{I^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}}\\ { \Leftrightarrow \frac{1}{{M{I^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow MI = a.} \end{array}\)
Xét tam giác vuông IMA ta có \(IA = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 .2a}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 a.\)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\sqrt 3 a} \right)^2} = 12\pi {a^2}.\)