Cho hàm số y = x3-3x2+4 có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) với hệ số góc k . Có bao nhiêu giá trị nguyên của k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đường thẳng d; y = k(x-1)+2.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:
x3-3x2+4 = k(x-1)+2.
Hay x3-3x2-kx+k+2 = 0 (1)
⇔ (x−1)(x2−2x−k−2) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
\underbrace {{x^2} - 2x - k - 2}_{g\left( x \right)} = 0\left( * \right)
\end{array} \right.\)
(C) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác 1
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta {'_g} > 0}\\
{g\left( 1 \right) \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k + 3 > 0}\\
{ - 3 - k \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow k > - 3} \right.} \right.\)
Hơn nữa theo Viet ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = 2 = 2{x_I}}\\
{{y_1} + {y_2} = k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2k + 4 = 4 = 2{y_I}}
\end{array}} \right.\)
nên I là trung điểm AB.
Vậy chọn k> -3, hay k ∈ (-3; +∞).
Do đó có vô số giá trị k nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.