Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là (C) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) . tồn tại điểm M( a; b) với; a; b nguyên dương thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI. Khi đó b-a = ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 1 và TCN là y = 2; giao điểm của hai tiệm cận là
I (1; 2) .
Lấy điểm
+ Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M là:
\(y = - \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \frac{{2a - 1}}{{a - 1}}\)
+ Phương trình đường thẳng MI là:
\(y = \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - 1} \right) + 2\)
+ Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có
\( - \frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0 \Rightarrow b = 1\\
a = 2 \Rightarrow b = 3
\end{array} \right.\)
Vì yêu cầu hoành độ và tung độ của M nguyên dương nên điểm cần tìm là M( 2; 3).