Cho hàm số \(y=\frac{x^{2}+2 x+3}{\sqrt{x^{4}-3 x^{2}+2}}\) Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(x \in(-\infty ;-\sqrt{2}) \cup(-1 ; 1) \cup(\sqrt{2} ;+\infty)\)
\(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+2 x+3}{\sqrt{x^{4}-3 x^{2}+2}}=\lim\limits _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}{\sqrt{1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{2}{x^{4}}}}=1\)
Suy ra y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} y=+\infty\) nên x=1 là đường tiệm cận đứng.
\(\lim\limits _{x \rightarrow(-1)^{+}} y=\lim\limits _{x \rightarrow(-1)^{-}} \frac{(x+1)(x+2)}{\sqrt{(x+1)(x+\sqrt{2})(x-1)(x-\sqrt{2})}}=\lim\limits _{x \rightarrow(-1)^{+}} \frac{\sqrt{(x+1)}(x+2)}{\sqrt{(x+\sqrt{2})(x-1)(x-\sqrt{2})}}=0\)nên đường thẳng x = - 1 không là đường tiệm cận đứng.
Có \(\lim\limits _{x\rightarrow(\sqrt{2})^{+}} y=+\infty\) nên đường thẳng \(x=\sqrt2\) là đường tiệm cận đứng.
Có \(\lim \limits_{x \rightarrow(-\sqrt{2})^{-}} y=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-\sqrt2\) là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận (1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng)
Có