Cho hai số thực thỏa mãn \(\log _{2} a+\log _{3} b=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\sqrt{\log _{3} a}+\sqrt{\log _{2} b}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được: }\\ &P=\sqrt{\log _{3} a}+\sqrt{\log _{2} b}=\sqrt{\frac{\log _{2} a}{\log _{2} 3}}+\sqrt{\frac{\log _{3} b}{\log _{3} 2}}=\sqrt{\frac{\log _{2} a}{\log _{2} 3}}+\sqrt{\frac{1-\log _{2} a}{\log _{3} 2}} \end{aligned}\)
\(\text { Xét hàm số } f( t)=\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{\log _{2} 3}}+\sqrt{\log _{2} 3} \cdot \sqrt{1-t} \Rightarrow f^{\prime} (t)=\frac{1}{2 \sqrt{t} \sqrt{\log _{2} 3}}-\frac{\sqrt{\log _{2} 3}}{2 \sqrt{1-t}} \text { . }\)
\(\text { Ta có } f^{\prime} (t)=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-t}=\log _{2} 3 \sqrt{t} \Leftrightarrow 1-t=t \cdot \log _{2}^{2} 3 \Leftrightarrow t=\frac{1}{1+\log _{2}^{2} 3} \text { . }\)
\(\Rightarrow f (t) \geq f\left(\frac{1}{1+\log _{2}^{2} 3}\right)=\sqrt{\log _{2} 3+\log _{3} 2} \Rightarrow \min P=\sqrt{\log _{2} 3+\log _{3} 2}\)
