Cho các số thực x, y thỏa mãn \(x^{2}+2 x y+3 y^{2}=4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{2}(x-y)^{2}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ \(x^{2}+2 x y+3 y^{2}=4\) suy ra:
Nếu \(y=0 \text { thì } x=\pm 2 \Rightarrow P=2\)
Nếu \(y \neq 0\).
Ta có:
\(P=\log _{2}(x-y)^{2} \Leftrightarrow 4 \cdot(x-y)^{2}=4.2^{P} \Rightarrow \frac{4.2^{P}}{4}=\frac{4(x-y)^{2}}{x^{2}+2 x y+3 y^{2}}=\frac{4\left(\frac{x}{y}-1\right)^{2}}{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}+2 \frac{x}{y}+3}\)
Đặt \(t=\frac{x}{y}, t \in \mathbb{R} \Rightarrow 2^{P}=\frac{4 t^{2}-8 t+4}{t^{2}+2 t+3} \Leftrightarrow 2^{P}\left(t^{2}+2 t+3\right)=4 t^{2}-8 t+4\)
\(\Leftrightarrow\left(2^{P}-4\right) t^{2}+\left(2^{P}+8\right) t+3.2^{P}-4=0 .(\text { Xét } P \neq 4)\)
Để phương trình có nghiệm \(\Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow\left(2^{p}+4\right)^{2}-\left(2^{p}-4\right)\left(3.2^{p}-4\right) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow-2 \cdot\left(2^{P}\right)^{2}+24.2^{P} \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq 2^{P} \leq 12 \Rightarrow P \leq \log _{2} 12\)
Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\log _{2} 12\)
