\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;-3) và d vuông góc với mặt phẳng (P): 3x + y + 1 = 0

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6\cos t - 4\sin ty + 6z\cos 2t - 3 = 0, t \in R\)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 + t\\z = – 1 – 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y – 2}}{{ – 3}} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\). Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\), \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc d, \(N\left( {4;4;1} \right)\). Khi độ dài MN ngắn nhất thì a + b + c bằng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {3;2;1} \right), \overrightarrow b = \left( { – 2;0;1} \right)\). Độ dài \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) là:

Cho tứ diện ABCD có \(A\left( {3,6, - 2} \right);B\left( {6,0,1} \right);C\left( { - 1,2,0} \right);D\left( {0,4,1} \right)\).Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Mặt cầu (S) tâm I(3 ; 4 ; 0) và đi qua gốc tọa độ O có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; – 2; – 1} \right)\) và \(B\left( {1;4;3} \right)\). Độ dài đoạn AB là:

Cho mặt phẳng \((P): 2 x+y+3 z+1=0\) và đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=-3+t \\ y=2-2 t \\ z=1 \end{array}\right.\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm \(M\left( {1\,;\, – 3\,;\,\,2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 3y + 2z – 1 = 0\). Tìm phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với \(A\left( {4, - 3,5} \right);B\left( {2,1,3} \right)\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1 ; 2 ; 3), B(1 ; 0 ; 2)\). Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: ^x2 + y² + z²- 2x - 2y - 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\;\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}\) và\({d_2}:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 - 3t}\\
{y =  - 2 + t}\\
{z =  - 1 - t}
\end{array}} \right.\). Phương trình đường thẳng d nằm trong (α): x + 2y − 3z − 2 = 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

Mặt cầu ( S ) có tâm I(3 ;-3 ; 1) và đi qua điểm A(5 ;-2 ; 1) có phurong trình là

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết \(A\left( {1;0; – 1} \right), B\left( {2;3; – 1} \right), C\left( { – 2;1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là:

Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz , cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng d:\(\left\{\begin{array}{l} x=6-4 t \\ y=-2-t \\ z=-1+2 t \end{array}\right.\)

Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d có tọa độ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;3), B(-3;0;-4). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng \(d: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=z+3\). Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng AB?

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec u\) = (-1; 3; 4), \(\vec v\) = (2; -1; 5). Tích có hướng của hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) là: